3. СТОХАСТИЧЕСКАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ, ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Непрерывность. Стохастический процесс представляет собой ансамбль функций. Если каждая функция непрерывна в точке то процесс также непрерывен в точке Однако такое определение вносит значительное ограничение. Поэтому при анализе стохастических процессов пользуются несколько другим понятием непрерывности. Будем говорить, что стохастический процесс непрерывен в среднеквадратическом смысле (сокращенно: в с. к. смысле) в точке если

при имеем

Следовательно, процесс непрерывен в точке если функция непрерывна относительно и в точке Процесс непрерывен для любого если непрерывна во всех точках прямой

Если процесс непрерывен в с. к. смысле, то его математическое ожидание также непрерывно, т. е.

Предположим, что процесс стационарен, тогда

но

Поэтому если функция непрерывна при то левая часть выражения (1.22) стремится к нулю, и наоборот.

Таким образом, стационарный процесс непрерывен в том и только в том случае, если функция непрерывна при

Далее можно показать, что если непрерывна при то она непрерывна при любом .

Стохастическое дифференцирование. Производная стохастического процесса определяется как предел, т. е.

Если предел (1.23) существует в с. к. смысле, т. е.

то говорят, что процесс имеет производную в этом смысле.

Можно показать, что стационарный процесс имеет производную . смысле, если его корреляционная функция имеет производные до второго порядка включительно.

Выразим корреляционную функцию

для производной через корреляционную функцию процесса

Для этого найдем сначала взаимную корреляционную функцию

Так

то при из выражения (1.26) получим

Точно так же

Переходя в последнем выражении к пределу при найдем

Учитывая выражение (1.27), соотношение (1.29) можем переписать в следующем виде:

Если процесс стационарен, то, полагая из выражений (1.27) и (1.29) получим

и, следовательно,

Легко видеть, что

Далее при помощи аналогичных рассуждений можно показать, что

Если процессы стационарны, то формула (1.33) принимает вид

Можно также показать, что процесс имеет производную если существует.

Интегрирование случайных процессов. Рассматривая случайный процесс, запишем интеграл

Если этот интеграл существует в смысле Римана для каждой функции процесса то он определяет некоторое число Таким образом, с есть случайная величина.

Во многих случаях интеграл от не существует для каждого При этом операцию интегрирования можно определить другим способом. Если, например,

то с определяется как предел суммы или как интеграл от в среднеквадратичном смысле. В настоящей главе интеграл (1.35) рассматривается именно в среднеквадратичном смысле.

Найдем среднее значение и дисперсию величины с. Пусть

и

тогда

Если принять, что

то, вычитая из квадрат выражения (1.37), получим для дисперсии случайной величины с следующее выражение:

Рассмотрим теперь некоторый стационарный процесс Для этого образуем интеграл

Обозначим

тогда

Последний интеграл можно упростить, учитывая, что где имеет постоянное значение в заштрихованной области (рис. I. 3). Площадь этой области равна Итак,

и, следовательно,

или, учитывая четность функции найдем

Рис. 1.3. Область, в которой имеет постоянное значение

Это соотношение лежит в основе рассмотрения эргодического свойства стационарных процессов.