3. ОТЫСКАНИЕ УРАВНЕНИЯ СТАТИКИ ПРИ ПЛАНИРОВАНИИ АКТИВНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА НА ДВУХ УРОВНЯХ

В тех случаях, когда можно организовать активный эксперимент, т. е. независимо менять интересующие нас параметры при хорошей воспроизводимости эксперимента, задача математического описания процесса тесно связана с задачей оптимизации, т. е. нахождением области значений параметров, для которой выходной параметр (целевая функция или показатель эффективности) принимает экстремальное значение. Общую задачу исследования можно разбить на два этапа: „крутого восхождения”, при котором проведение эксперимента планируется обычно на двух уровнях, что позволяет получить линейную модель процесса и использовать ее для движения по градиенту к оптимуму; на втором этапе вблизи оптимальной области необходимо более тщательное изучение имеющей место зависимости, что приводит к более сложным схемам планирования эксперимента на трех уровнях [1]-[3],[7].

Планирование эксперимента на двух уровнях осуществляется по определенной программе, предусматривающей одновременное изменение всех варьируемых переменных относительно начальных базовых значений [8]. Пусть каждая переменная имеет свои интервалы варьирования, определяемые условиями работы объекта . В приведенном интервале выбирают два крайних уровня и реализуют комбинацию этих уровней в виде

Используя кодирование варьируемых факторов, переходим к нормализованным значениям

где - базовое значение фактора;

- шаг варьирования.

Варьируемыми величинами могут быть и такие показатели, как, например, число выключенных вентиляторов, фильтров, старое или новое сырье и т. д. В этом случае каждому варианту присваивается также определенный уровень + 1 или — 1.

Преимущество активного эксперимента по сравнению с пассивным заключается в том, что мы можем реализовать любую матрицу экспериментальных значений х (см. табл. II. 1), руководствуясь тем или другим критерием оптимальности. Будем считать, что оценки коэффициентов регрессии линейной модели должны определяться независимо с равными и минимально возможными дисперсиями.

Отсюда следует, что дисперсия выходной величины, определяемая уравнением

будет минимальна и постоянна на равных расстояниях от центра планирования.

Действительно,

где — расстояния от центра планирования в факторном пространстве.

Для выполнения выбранных условий оптимальности необходимо, чтобы экспериментальный план удовлетворял следующим требованиям:

где — число экспериментов.

При этом основным требованием является требование взаимной ортогональности вектор-столбцов матрицы планирования. Это приводит к значительным упрощениям при вычислении оценок для коэффициентов регрессии методом наименьших квадратов, тогда матрица В в выражении (II. 17) становится диагональной.

Оценки коэффициентов регрессии определяются по формулам

Рассмотрим несколько примеров построения ортогональных экспериментальных планов. В табл. II.3 показан полный факторный эксперимент (ПФЭ) для двух переменных. Каждая строчка

Таблица II.3

обычно дублируется несколько раз, а в таблицу записывается среднее значение. По данным таблицы могут быть вычислены оценки коэффициентов регрессии:

Оценки для коэффициентов при квадратичных членах и фиктивной переменной как видно из матрицы планирования, не могут быть определены независимо, они входят в так же, как и оценки при членах . В то же время оценка коэффициента является совмещенной оценкой для коэффициентов при Имея исходную матрицу планирования эксперимента, всегда возможно определить по совпадающим столбцам совместные неразделенные эффекты, т. е. те оценки коэффициентов регрессии, которые не могут быть определены независимо.

В общем случае ПФЭ имеет число опытов (без дублирования) где — число факторов. По данным ПФЭ можно вычислить оценки при линейных членах а также при эффектах взаимодействия первого, второго, третьего и т. д. до -порядка. Естественно, что число независимо определенных оценок не может превышать числа экспериментов.

При большом числе факторов ПФЭ требует проведения чрезмерно большого числа экспериментов (например, при Помимо практических трудностей, такое планирование лишено физического смысла, так как всегда априори известно, что ряд эффектов взаимодействия равен нулю или настолько мал, что ставить эксперименты для их оценки нецелесообразно.

На практике пользуются дробным факторным экспериментом (ДФЭ), который является частью ПФЭ (например, и т. д.). В табл. II.4 приведен для трех факторов, равный половине от и состоящий из четырех опытов.

Таблица II.4 (см. скан)

При составлении этого ДФЭ было принято во внимание, что эффект взаимодействия между факторами равен нулю. Это позволило изменять согласно произведению для которых был составлен ПФЭ. По данным табл. II.4 может быть получена линейная модель вида

где — совместная оценка для теоретические значения коэффициентов регрессии).

Для уяснения принципа составления матрицы планирования ДФЭ введем понятие определяющего контраста Он позволяет определить, какие оценки смешаны друг с другом, не изучая матрицу планирования для выявления совпадающих столбцов. Для этого используются соотношения

Получение определяющего контраста рассмотрим на следующем примере. Пусть имеется пять факторов: Известно, что . В этом случае вместо применения возможно использовать с числом опытов

т. е. принять факторы А, В и С за основные, построив для них а факторы и — за неосновные. Тогда матрицу планирования можно получить из условий соответственно и

Таким образом, матрица планирования будет иметь вид табл. II.5. Найдем определяющий контраст данной таблицы. Обозначим Выпишем все включенные неосновные факторы и

Умножив эти равенства соответственно на и получим

и

Таблица II.5 (см. скан)

Полученные выражения для необходимо перемножить, используя все возможные комбинации, и сложить. Тогда определяющий контраст будет

Все совместно определяемые оценки выявляются путем умножения определяющего контраста на данный фактор с использованием формул (II. 40). Например, для А

откуда

В табл. II. 5 приведена четвертая часть ПФЭ для пяти факторов. Это 1-й блок из ПФЭ.

Аналогично можно достроить и три других блока, приравнивая соответственно,

Определяющие контрасты этйх блоков будут:

Основным блоком считают 2-й блок, так как путем комбинации уровней из блока получают любой другой блок.

В этом блоке все четные взаимодействия имеют знак „плюс”, а нечетные — „минус”. Остальные блоки можно получить из основного:

1-й из — изменяя знак (блок с комбинацией уровней

3-й из — изменяя знак В (блок с комбинацией уровней

4-й из изменяя знак (блок с комбинацией уровней

Особенностью большинства промышленных объектов является то, что результаты первой серии опытов могут быть обработаны перед второй серией. Таким образом, условия проведения последующих опытов обычно зависят от результатов предыдущих. Поэтому нет смысла сразу проводить ПФЭ. При постановке или ПФЭ затраты снижаются соответственно в 4 и 8 раз, а при благоприятных уровнях ДФЭ всегда можно дополнить до ПФЭ. Самым малым планированием при этом считается планирование с четырьмя наблюдениями, в которое не может быть включено больше трех факторов. Восемь наблюдений могут быть использованы для нахождения:

трех коэффициентов типа и всех коэффициентов взаимодействия между ними для ПФЭ при

четырех коэффициентов и трех коэффициентов при всех остальных для ДФЭ при

Максимальное число независимых переменных при восьми опытах может быть Это будет Если окажется, что коэффициенты типа при ДФЭ искажены взаимодействиями или получены неточно, а совместные оценки нуждаются в разделении, то принимается решение продолжить эксперименты.

Следует помнить, что при реализации все оценки будут определяться попарно, а при ПФЭ каждая степень свободы представляет группу уже из четырех оценок, т. е. каждый коэффициент уравнения смешан с тремя другими.

Вернемся к рассмотренному выше примеру с 5-ю факторами.

При реализации одного из блоков для получения 100%-ной эффективности (за 100%-ную эффективность принимается эффективность ПФЭ) необходимо, чтобы все взаимодействия второго порядка и часть взаимодействий первого порядка были равны нулю.

Допустим, мы реализовали первый блок. Тогда будет оценкой четырех коэффициентов Для раздельной оценки необходимо, чтобы взаимодействия и были равны нулю.

Если к блоку добавить 2-й блок, где является оценкой для то будет оценкой для двух коэффициентов: — для (при сложении блоков) и — для (при вычитании блоков). Поэтому для раздельной оценки достаточно, чтобы

Следовательно, эффективность ДФЭ растет при отсутствии взаимодействий: чем меньше имеется взаимодействий, тем меньшее

количество опытов необходимо для успешного эксперимента. Но, с другой стороны, чем мельче ДФЭ, тем ниже точность.

При обработке результатов эксперимента необходимо произвести статистический анализ результатов. Ошибка эксперимента оценивается дублированием опытов. Вычисляется построчная дисперсия

где — дисперсия Е, соответствующая некоторой комбинации уровней;

— число параллельных опытов;

— среднее значение для опытов:

Для проверки равноточности измерений применяется критерий Кохрена, согласно которому вычисляется величина

где — максимальная построчная дисперсия.

Если то опыты равноточны. — табличное значение, определяемое для выбранного уровня значимости и значений При неравноточных опытах следует увеличить число параллельных опытов или повысить точность измерений.

После вычисления оценок коэффициентов регрессии необходимо проверить их значимость (в смысле отличия их от нуля). Для этого пользуются критерием Стьюдента.

Влияние фактора значимо, если где дисперсия ошибки в определении коэффициентов.

При ортогональном планировании равны между собой для всех коэффициентов и рассчитываются по формуле

— дисперсия воспроизводимости берется из таблиц в соответствии с выбранным уровнем значимости

q (обычно выбирают ) и числом степеней свободы .

Причиной незначимости коэффициентов могут оказаться: рассеяние результатов из-за низкой точности измерения; единицы варьирования выбраны слишком малыми; базовый уровень для факторов с малыми коэффициентами соответствует экстремальному значению функции;

величина Е не зависит от варьирования этими факторами. После проведения первой серии экспериментов по программе ПФЭ или ДФЭ необходимо проверить, насколько линейное приближение адекватно описывает исследуемую зависимость. С этой целью вычисляют остаточную дисперсию

— представляет собой расчетное значение функции при аппроксимации ее гиперплоскостью.

Экспериментальные значения подставляют из матрицы планирования. Затем подсчитывают согласно критерию Фишера отношение

и сравнивают с табличным значением Последнее находят для выбранного уровня значимости и степеней свободы

Если аппроксимация адэкватна и можно перейти к планированию следующей серии экспериментов, изменив базовые значения факторов пропорционально коэффициентам т.е. перейти к „крутому восхождению" в оптимальную область [7].

Далее отметим, что трудности определения математической модели в условиях действующего производства методами активного эксперимента, связанные с плохой воспроизводимостью эксперимента (большой величиной , следовательно, можно иногда обойти, применив метод „эволюционного" планирования эксперимента. Этот метод заключается в циклическом повторении ПФЭ или ДФЭ с дополнительной центральной точкой, что позволяет при небольших изменениях факторов определить на фоне шума необходимые оценки коэффициентов регрессии и их доверительные границы, которые сужаются обратно пропорционально корню квадратному из числа проведенных циклов [2], [3].