4. АППРОКСИМАЦИЯ ТРАНСЦЕНДЕНТНОЙ ОПТИМАЛЬНОЙ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНОЙ ФУНКЦИЕЙ
Иногда при выборе желаемой передаточной функции или частотных характеристик, а также при синтезе корректирующих устройств бывает удобно оптимальные передаточные функций, являющиеся обычно трансцендентными, аппроксимировать дробно-рациональными функциями. Такая аппроксимация может быть осуществлена, если воспользоваться известной формулой, позволяющей аппроксимировать функцию 
входящую в выражения для оптимальных передаточных функций, дробно-рациональной
функцией. Отметим, что при этом будут получаться системы, не относящиеся к классу минимально-фазовых. Запишем формулы Паде в виде
Можно показать, что предел отношения функций (VIII.28) и (VIII.29) при 
равен 
т. е.
Таблица VIII.1 (см. скан)
Ниже нас будет интересовать случай 
Обозначим частное
Полагая в последнем выражении 
получим
В табл. VIII. 1 приведены приближения функции 
первого, второго, третьего и четвертого порядка, вычисленные соответственно по формулам (VIII.28), (VIII.29) и (VIII.32).
Рис. VIII.7. Фазовые характеристики, соответствующие функциям 
при 
В общем случае функцию 
можно представить в виде
Определим модуль выражения 
Из выражения 
очевидно, что
Модуль функции 
также равен единице.
Таким образом, имеем
при любом 
Фазовые характеристики 
соответствующие функциям 
показаны на рис. VIII.7.
Рассмотрим пример применения формулы (VIII.33).
Пусть требуется определить передаточную функцию системы при заданном коэффициенте ошибки 
и известном значении 
для случая, когда 
в этом случае оптимальная передаточная функция системы в замкнутом состоянии определяется выражением
где
При этом среднеквадратическая ошибка
Пользуясь заданным значением по формуле (VIII.37) определяем время 
переходного процесса оптимальной системы. Далее определим передаточные функции 
для различных к: 
где
Затем определим коэффициенты ошибок по найденным передаточным функциям, воспользовавшись формулами
— передаточная функция ошибок.
Результаты расчета сведены в табл. VIII.2.
Из табл. VIII.2 следует, что полученные передаточные функции позволяют определить значение коэффициента ошибки 
а также значения коэффициентов ошибок 
(где 
через параметры 
После этого перейдем к рассмотрению временных характеристик. На рис. VIII.8 показан график переходной функции оптимальной системы
Таблица VIII.2 (см. скан)
а также графики переходных функций, соответствующие передаточным функциям 
Рис. VIII. 8. Переходные функции, соответствующие оптимальной системе и передаточным функциям 
Рис. VIII.9. Логарифмические амплитудные частотные характеристики, соответствующие оптимальной системе и передаточным функциям 
На рис. VIII.9 приведены логарифмические частотные характеристики, соответствующие оптимальной передаточной функции и передаточным функциям 
