6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОГО ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ ПО ГРАФИЧЕСКИ ЗАДАННЫМ ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ

После выбора желаемых логарифмических частотных характеристик корректирующих устройств следующим шагом является определение аналитических выражений для соответствующих им желаемых передаточных функций. Часто эта задача решается без затруднений, в особенности если корректирующими устройствами будут пассивные электрические С-цепи. При этом решение можно искать в классе минимально-фазовых систем с помощью специальных таблиц RC-контуров.

Однако правильно выбрать схему корректирующего устройства по графически заданной амплитудной частотной характеристике, пользуясь указанными таблицами, не всегда удается. Так,

например, если неизменяемая или заданная часть системы автоматического регулирования относится к классу неминимально-фазовых систем, не имеющих однозначной связи между амплитудной и фазовой частотной характеристиками, то схему корректирующего устройства приходится выбирать не только по амплитудной, но одновременно по амплитудной и фазовой частотным характеристикам, заданным в определенном интервале частот. В этом случае пользование таблицами -контуров, составленными для минимально-фазовых систем, вообще недопустимо, так как приведенным в них логарифмическим амплитудным частотным характеристикам соответствуют совершенно определенные фазовые характеристики, которые могут не иметь ничего общего с заданными фазовыми характеристиками.

Таблицы -контуров неприменимы также в тех случаях, когда требуется сравнительно высокая точность приближения заданной амплитудной характеристики или когда последняя имеет сложную форму.

Сущность излагаемого ниже метода определения аналитического выражения передаточной функции по амплитудной и фазовой частотным характеристикам, графически заданным в некотором интервале частот, заключается в следующем.

По одной из заданных частотных характеристик, например логарифмической амплитудной характеристике, вначале ориентировочно определяют положение полюсов и нулей передаточной функции, которое затем, в результате введения соответствующих поправок, постепенно уточняется.

Если передаточная функция характеризуется значительным количеством нулей и полюсов, то подбор поправок, или, другими словами, определение эффекта передвижения этих нулей и полюсов на комплексной плоскости, может оказаться очень сложным. В этом случае поправки можно вносить аналитическим методом. Практически же при расчете систем автоматического регулирования часто вполне достаточно ограничиться подбором поправок, не прибегая к более сложному аналитическому способу.

Применение метода удобнее всего пояснить на примере.

Предположим, что необходимо найти передаточную функцию, соответствующую графически заданным логарифмической амплитудной и фазовой частотным характеристикам. В первом приближении эта функция определяется по формуле

Преобразуем выражение (VIII.67) следующим образом:

где

величины, комплексно сопряженные величинам Пользуясь принятыми обозначениями, можно написать

Таким образом, первоначально сформулированная задача состоит в том, чтобы путем изменения положения нулей а и полюсов повысить точность приближения функции к графически заданным частетным характеристикам.

Найдем выражения для логарифмической амплитудной и фазовой частотных характеристик, соответствующих формуле (VIII.69):

и

Перепишем эти выражения в виде и

и

где

Аналогичные выражения можно записать и для Полученные выражения удобны тем, что они дают возможность анализировать влияние каждого из полюсов и нулей системы в отдельности на ее частотные характеристики. Выражения состоят из членов двух типов: соответствующих комплексносопряженным полюсам и нулям, вещественным полюсам и нулям.

Определим влияние малых изменений в положении полюсов и нулей на вид частотных характеристик (VIII.70) и (VIII.71). При данном о) амплитудная логарифмическая частотная характеристика (VIII.70) является функцией нескольких переменных: которые могут получать приращения. Разлагая эту функцию в ряд по формуле Тейлора и отбрасывая члены высших порядков, найдем

Отсюда приближенное выражение для приращения амплитудной частотной характеристики при малых смещениях нулей и полюсов передаточной функции можно представить в виде

Аналогично получим

Далее найдем выражения для частных производных, входящих в формулы (VIII.73) и (VIII.74), т. е.

где

Аналогичные выражения можно написать и для остальных шести частных производных, входящих в формулы (VIII.73) и (VIII.74).

Кривые, которые описываются выражениями

и

изображены соответственно на рис. VIII.18 и VIII.19. Пользуясь этими кривыми, легко определить влияние перемещения вещественного нуля и перемещения вещественного полюса на вид частотных характеристика

На рис. VIII.20-VIII.23 изображены семейства кривых для различных значений

Пользуясь этими кривыми, легко определить влияние перемещения комплексной пары нулей или полюсов на вид частотных характеристик.

Рис. VIII.18. График функции

Рис. VIII.19. График функции

Так, например, для того чтобы определить влияние перемещения комплексной пары полюсов, нужно выбрать те кривые, которые соответствуют первоначально выбранному значению В этом случае изменение в логарифмической амплитудной частотной характеристике определяется выражением

а изменение в фазовой характеристике — выражением

(кликните для просмотра скана)

Таким образом, сформулированная выше задача сводится к выбору таких (по крайней мере, некоторых) величин при которых получаются кривые дающие возможность обеспечить максимально точное приближение к заданным частотным характеристикам в требуемом интервале частот.

Рис. VIII.22. Семейство кривых

Сущность метода, изложенного выше, применительно к передаточной функции (VIII.67) остается той же применительно к дробно-рациональным передаточным функциям самого общего вида. Действительно, вне зависимости от общего числа полюсов

и нулей этой функции, влияние каждого из них на вид частотных характеристик всегда может быть определено при помощи кривых, изображенных на рис. VIII.18 — VIII.23.

Рис. VIII.23. Семейство кривых

Пример. Предположим, что необходимо найти передаточную функцию, соответствующую логарифмической амплитудной частотной характеристике, изображенной пунктиром на рис. VIII.24. В качестве первого приближения выберем следующую передаточную функцию:

где

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика, соответствующая этой передаточной функции, изображена на рис. VIII.24 сплошной линией. Выражение для передаточной функции можно преобразовать следующим образом:

или

где

и

В данном примере

Сначала, пользуясь первоначально выбранной и заданной частотной характеристикой, построим разностную частотную характеристику, определяющую погрешность первого приближения (рис. VIII.25).

Рис. VIII.24. Логарифмическая амплитудная характеристика

Рис. VIII.25. Разностная логарифмическая амплитудная характеристика

Затем, по известным значениям найдем соответствующие им кривые (рис. VIII.26).

После этого выберем значения таким образом, чтобы получить более точное приближение к разностной частотной характеристике .

Рис. VIII.26. Кривые, соответствующие значениям определяющим первое приближение

В данном случае можно значительно улучшить приближение, приняв и подобрав соответствующим образом величину Далее построим характеристику для новых значений

и найдем погрешность второго приближения. Этот процесс можно продолжать до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность приближения.

Последний этап решения задачи синтеза корректирующих устройств заключается в технической реализации найденной передаточной функции в виде определенной схемы. Как указывалось выше, в качестве таких схем часто применяют четырехполюсники типа RC, не содержащие индуктивностей, что особенно важно для диапазона очень низких частот, для которых трудно изготовить индуктивности небольших размеров. Ограничения на индуктивности накладывают определенные трудности при технической реализации передаточной функции четырехполюсников. Однако, несмотря на эти ограничения, такого рода четырехполюсники являются достаточно гибкими, так что довольно широкий класс заданных амплитудных частотных характеристик может быть аппроксимирован с любой степенью точности при использовании лишь сопротивлений и емкостей.

Методы синтеза четырехполюсников изложены в работах [1], и [5], поэтому здесь не приводятся.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)