1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК

Системы автоматического регулирования могут рассматриваться как системы, служащие для усиления и преобразования управляющих входных сигналов в соответствии с некоторыми операторами

где — регулируемые переменные.

Идеальное преобразование входных сигналов в соответствии с выражением (VII. 1) невозможно по следующим основным причинам. Первой причиной является наличие заданной части системы, обладающей определенными свойствами, накладывающими ряд ограничений на протекание процесса регулирования. Второй причиной является наличие возмущающих воздействий и помех, мешающих точному осуществлению преобразований (VII. 1). Поэтому возникает задача синтеза оптимальных динамических характеристик системы, обеспечивающих наилучшее, в том или ином смысле, приближение к идеальным законам преобразования в указанных выше условиях.

Постановка задачи синтеза оптимальных динамических характеристик должна включать:

задание операторов называемых идеальными преобразующими операторами;

сведения об управляющих и возмущающих воздействиях;

ограничения, накладываемые или вытекающие из заданных свойств системы;

критерий оптимизации.

Если ограничиться для простоты линейными преобразующими операторами то можно сказать, что система должна возможно более точно воспроизводить на своем выходе не само управляющее воздействие , а некоторый сигнал связанный с сигналом заданным функциональным преобразованием (см. рис. VII. 1):

В случае задачи воспроизведения идеальный преобразующий оператор сводится к постоянной величине так как при этом требуется, чтобы величина на выходе воспроизводила все изменения управляющего воздействия или полезного сигнала входе.

Итак, в этом случае выражение (VII. 2) сводится к виду

Возможны также случаи, когда преобразующий оператор имеет

и тогда требуемая операция над входным сигналом сводится соответственно к дифференцированию, интегрированию или смещению во времени на промежуток

Рис. VII.1. К пояснению особенности задачи синтеза систем автоматического регулирования

Преобразующий оператор может иметь и более сложный вид, например

Исходная информация о воздействиях может быть самой различной, но все же можно указать на следующие три основных случая, когда они являются: детерминированными функциями; случайными функциями; детерминированными и случайными функциями одновременно.

Если воздействия — случайные функции времени, то исходная информация о них в зависимости от полноты данных может быть, например, следующей:

1. Известны наиболее полные статистические сведения о входном сигнале: в виде многомерных интегральных функций распределения вероятности входного сигнала и полезного сигнала Так, например, может быть известно, что как входной сигнал так и полезный сигнал имеют нормальные распределения, причем их математические ожидания, а также собственные и взаимные корреляционные моменты являются заданными функциями времени.

2. Приведены минимальные сведения о входном сигнале, т. е. известна лишь принадлежность полезного сигнала и помехи к определенному классу функций. Так, например, о полезном сигнале может быть известно лишь то, что он принадлежит к классу сигналов, ограниченных по модулю, т. е.

или что он принадлежит к классу полиномов:

при этом относительно помехи может быть известно лишь то, что она принадлежит к классу стационарных случайных процессов.

3. Даны менее полные сведения, чем в первом случае, и более полные, чем во втором. Так, например, могут быть известны первые два момента функций распределения входного сигнала и помехи, но неизвестны сами функции распределения.

Требования и ограничения, накладываемые или вытекающие из свойств системы, возможны самые различные. Так, например, могут быть заданы значения (или верхние пределы) для времени переходного процесса, перерегулирования, коэффициентов ошибки, перегрузки, мощности исполнительного устройства и т. д. Однако общим ограничением для любой постановки задачи синтеза динамических характеристик является условие физической осуществимости, которое в случае линейных систем с постоянными параметрами сводится к условию равенства нулю импульсной переходной функции при отрицательных значениях т. е.

Критерием оптимизации, часто применяемым при синтезе систем для детерминированного входного воздействия в виде единичной ступенчатой функции, является минимум времени переходного процесса при условии его монотонности.

Критерии оптимизации при детерминированных воздействиях иногда выбираются в виде функционалов от ошибки вида

простейшим из которых является функционал вида

называемый интегральной квадратичной ошибкой.

При случайных воздействиях наиболее широко распространенным в настоящее время показателем, применяемым для характеристики динамической точности, является среднее значение квадрата ошибки

которое при стационарных случайных воздействиях можно также представить в виде

где

В настоящей главе рассматривается синтез оптимальных динамических характеристик в классе линейных стационарных систем.

Предположение о линейности оптимальной системы, вообще говоря, ограничивает общность решения. Это означает, что в классе нелинейных операторов (или систем) в общем случае можно найти оператор, который позволит получить меньшее значение показателя точности управления (например, среднеквадратической ошибки), чем линейный оператор. Однако если случайные воздействия являются нормальными, то решение в классе линейных систем обеспечивает абсолютный минимум среднеквадратической ошибки, т. е. оптимальная линейная система является наилучшей из всех возможных. Более того, если воздействия имеют не только нормальное распределение, но и являются стационарными случайными функциями, то наилучшей из всех возможных является стационарная линейная система, т. е. нельзя найти нелинейную систему, которая обеспечивала бы более высокую точность в смысле минимума среднеквадратической ошибки, чем линейная система с постоянными параметрами.

Ниже мы увидим, что решение задачи синтеза линейной системы оптимальной в смысле минимума среднеквадратической ошибки, требует задания первых двух моментов входного сигнала, т. е. математического ожидания и корреляционной функции. Но, если сигнал имеет нормальное распределение, то более полных сведений о нем, очевидно, получить уже нельзя, так как первые

два момента его полностью определяют. Кроме того, взаимная корреляция между входным сигналом и. ошибкой в оптимальной линейной системе отсутствует и ошибка имеет нормальное распределение. Другими словами, сигнал ошибки статистически не зависит от входного сигнала и, следовательно, достигнуть дальнейшего уменьшения ошибки в этом случае уже невозможно.

Критерий среднеквадратической ошибки, как и всякий другой критерий точности, как это уже указывалось в главе I, не является универсальным. Поэтому для решения проблемы синтеза систем автоматического управления, обеспечивающих требуемую динамическую точность преобразования сигнала, рассмотрим более общий критерий динамической точности, хотя в дальнейшем для простоты будем широко пользоваться критерием среднеквадратической ошибки.

Более общий способ оценки динамической точности может быть основан на введении в рассмотрение так называемой функции риска, применяемой в теории решающих функций.

Назовем функцией веса

некоторую неотрицательную функцию от полезного сигнала на входе и величины на выходе системы. Функцией риска называется математическое ожидание функции веса:

где — интегральная функция распределения вероятности полезного сигнала;

— условная интегральная функция распределения вероятности входного сигнала.

В частности, при решении задачи фильтрации функция веса может иметь вид

Частным случаем функции веса вида (VII. 12) является функция веса в виде полинома, содержащего четные степени ошибки:

и, наконец, еще более частным случаем — функция веса

применяемая в обычном критерии среднеквадратической ошибки.

После сделанных выше предварительных замечаний общая проблема синтеза динамических систем, обеспечивающих наивысшую, в принятом смысле, динамическую точность преобразования управляющего воздействия (полезного сигнала) при наличии возмущающих

воздействий (помех), может быть сформулирована следующим образом:

1. Известно, что динамическая система будет находиться под влиянием управляющего и возмущающего воздействий, которые могут быть наложены друг на друга и поступать на вход системы в виде входного сигнала

2. Задана некоторая первичная информация о статистических свойствах сигнала и помехи (или входного сигнала которая в наилучшем случае заключается в знании всех функций распределения вероятности, а в наихудшем случае — в знании лишь того, что сигнал помеха и входной сигнал принадлежат соответственно к известным классам функций.

3. Заданы ограничения, накладываемые или вытекающие из заданных свойств системы.

Требуется, пользуясь этими данными, найти динамическую систему, обеспечивающую наивысшую динамическую точность по минимуму выбранной функции риска. Динамические системы, удовлетворяющие данному условию, будем называть оптимальными.