5. ОБОБЩЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ НА СИСТЕМЫ, СОДЕРЖАЩИЕ К СЛУЧАЙНЫХ ПАРАМЕТРОВ

Методика исследования систем со случайными параметрами, изложенная выше, может быть обобщена на случай, когда в состав системы входит несколько элементов, имеющих случайные параметры.

Решение проводится для структурной схемы, изображенной на рис. VI. 12. Система содержит к случайных параметров к ней приложены воздействий

Рис. VI.12 Система с произвольным количеством случайных параметров

Определению подлежат статистические характеристики выходных сигналов — средние значения корреляционные функции и дисперсии Входной сигнал содержит неслучайную составляющую случайный полезный сигнал и случайное возмущающее воздействие т. е.

Предполагается, что случайные функции коррелированы между собой и со случайными изменениями параметров системы . В общем случае пр предполагаются нестационарными случайными функциями с известными

корреляционными функциями. Известными также считаются передаточные функции, связывающие различные точки системы.

На основании схемы, приведенной на рис. VI. 12, выходной сигнал системы и сигнал на входе элемента можно записать следующим образом:

В формулах (VI.86) и (VI.87) и в дальнейшем индексом «ноль» отмечены значения соответствующих функций в системе с постоянными параметрами

Для определения среднего значения выходного сигнала производим осреднение левой и правой частей равенства (VI.86); тогда получим

На основании формулы (VI.87) начальная ордината взаимной корреляционной функции

где среднее значение сигнала определяется выражением

Совместное решение уравнений (VI.88) — (VI.90) дает возможность определить средние значения сигналов системы со случайными параметрами.

Для стационарных входных сигналов и случайных изменений параметров при решении уравнений (VI.88) — (VI.90) может быть использовано преобразование Лапласа

где

Перейдем к определению корреляционных функций выходных сигналов. С этой целью, пользуясь выражением (VI.86), запишем для моментов времени затем, перемножив на осредняем произведение и исключаем из левой и правой частей полученного равенства члены, соответствующие произведению . В результате получим

где — корреляционная функция выходного сигнала в системе с постоянными параметрами.

Корреляционную функцию выходного сигнала системы с постоянными параметрами запишем в виде

Корреляционная функция сигнала входящая в уравнение (VI.92), имеет вид

Взаимную корреляционную функцию сигналов входящую в уравнение (VI.92), можно записать следующим образом:

Совместное решение уравнений (VI.90), (VI.92) — (VI.95) позволяет определить корреляционную функцию и дисперсию выходного сигнала.