4. ФИЗИЧЕСКИЕ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИНТЕРПРЕТАЦИИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТОЧНОСТИ

Степень подвижности системы во многих случаях имеет простой физический смысл. Рассмотрим несколько примеров:

1. В различных электрических, механических или электромеханических системах автоматической стабилизации, в которых регулируемой величиной является поступательная или угловая скорость одного из механических элементов системы, или величина тока в некоторой цепи, степень подвижности пропорциональна энергии, рассеиваемой непосредственно во вне данным элементом (цепью), при импульсном воздействии на систему.

2. В системах того же типа, в которых регулируемой величиной является положение какого-либо механического элемента системы или заряд в каком-либо пункте цепи, степень подвижности пропорциональна энергии, рассеиваемой непосредственно во вне данным элементом или цепью, при внезапном приложении к системе постоянного воздействия.

При стабилизации траектории плоского движения самолета, когда в качестве регулируемой величины рассматривается угол между возмущенной и заданной траекториями, а ускорения вдоль траектории и пределы изменения упомянутого угла численно достаточно малы, степень подвижности пропорциональна удлинению траектории (по сравнению с траекторией невозмущенного полета) при импульсном воздействии на систему.

Приведем несколько геометрических интерпретаций показателей динамической точности. Уравнение (V.19) дает следующий геометрический смысл степени подвижности. Степень подвижности пропорциональна площади квадрата амплитудной частотной характеристики системы.

С амплитудной частотной характеристикой связана очевидная геометрическая интерпретация и третьего показателя динамической точности — максимума амплитудной характеристики.

Рис. V.5. Переходная функция

Далее, так как между амплитудной вещественной и мнимой частотными характеристиками существует соотношение

а функции связаны с импульсной переходной функцией системы сопряженными преобразованиями Фурье, степень подвижности может быть определена по формулам

Отсюда следует, что степень подвижности пропорциональна площадям квадратов вещественной и мнимой частотных характеристик. Рассмотрим график переходной функции (рис. V.5).

Пусть — разность длины кривой, изображающей переходную функцию от момента возмущения до момента практического установления системы и длины соответствующего участка оси абсцисс (рис. V.5); — масштаб времени; — масштаб величины с — тангенс угла наклона кривой, представляющей переходную функцию; — текущая абцисса при

Тогда имеем

Разложим подрадикальное выражение в ряд по степеням

При ряд сходится.

Будем считать, что соотношение масштабов таково, что с 1, тогда

где — остаточный член, заключенный в пределах

Используя формулы (V.50) — (V.53), получим

Умножая величины, связанные неравенством (V.54), на

найдем

где

Полагая, что время установления системы Т выбрано с учетом условия

из неравенств (V.55) найдем Отсюда следует, что

Равенство (V.55) выполняется с относительной погрешностью, грубую оценку которой дает неравенство

Практически же условие обеспечивает точность определения с ошибкой, не превышающей 5%.

Таким образом, степень подвижности системы приближенно пропорциональна разности длин кривой переходной функции и соответствующего участка оси абсцисс. При точность

равенства (V.55) неограниченно возрастает. Аналогичный геометрический смысл имеет показатель динамической точности системы

В самом деле, к этому показателю динамической точности стремится как к пределу произведение при . Следовательно, если величина достаточно мала, то справедливо равенство

Таким образом, и этот показатель динамической точности приближенно пропорционален разности длин кривой переходной функции и соответствующего участка оси абсцисс. При точность равенства (V.57) неограниченно возрастает.

Рассмотренные физические и геометрические интерпретации показателей динамической точности системы стабилизации могут быть положены в основу графических, графоаналитических и экспериментальных методов их определения, а также могут быть использованы в целях определения оптимальных значений параметров системы.

В частности, сходство геометрических интерпретаций показателей динамической точности 8 и на графике импульсной переходной функции позволяет использовать в качестве характеристики точности величину приближении к границам интервала она принимает смысл первого (для левой границы) или второго показателей. Это дает основание применять для определения оптимальных значений параметров системы критерий минимума длины кривой переходной функции независимо от того, какие значения имеют масштабные коэффициенты Данное положение» можно сформулировать в виде следующего критерия: среди множества сравниваемых комбинаций значений параметров системы оптимальной является та, которой соответствует график импульсной переходной функции с минимальным значением величины по отношению к значениям этой величины для аналогичных графиков, соответствующих другим комбинациям значений параметров и выполненных с теми же масштабными коэффициентами.

Наряду с графическими, графо-аналитическими и экспериментальными методами определения показателей динамической точности системы стабилизации существуют также аналитические

методы их определения. В частности, если передаточная функция системы задана аналитически, степень подвижности может быть определена по формуле квадратичной оценки, приведенной в главе