5. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ

Как было сказано выше, корреляционной функцией называется математическое ожидание произведения значений случайной функции для двух моментов времени и Условимся обозначать автокорреляционную функцию процесса через Для стационарного случайного процесса

где

Так как стационарные случайные процессы обладают свойством эргодичности, то математическое ожидание (или среднее

по совокупности) равно среднему по времени и мы можем для корреляционной функции написать

Поясним физический смысл понятия корреляционной функции. Как мы видели, корреляционная функция определяет вероятность того, что случайная функция имея в момент значение будет в момент иметь значение т. е. характеризует взаимную связь между Предположим далее, что случайная функция со средним значением, равным нулю, есть выход следящей системы. Тогда значение должно зависеть от величины в предшествующий момент, так как можно считать, что значение имеет составляющую, зависящую как от начального значения х при так и от параметров системы.

Рис. I.4. К пояснению смысла корреляционной функции

Таким образом, если мало по сравнению с постоянными времени системы, то незначительно отличается от (рис. I.4). При этом взаимная связь между значительна, а отношение близко к единице. Другими словами, при очень малых вероятность того, что значение функции мало отличается от значения близка к единице, т. е. близка к достоверности. По мере увеличения составляющая определяемая начальным значением х при затухает, связь между величинами ослабевает, они делаются взаимно независимыми и функция стремится к нулю. Другими словами, при достаточно больших вероятность того, что величина будет мало отличаться от величины практически равна нулю.

Если приходится иметь дело с двумя стационарными случайными функциями то, кроме их математических ожиданий и корреляционных функций обычно вводится в рассмотрение корреляционная функция связи или взаимная корреляционная функция

Согласно эргодической теореме, вместо (1.59) можно написать

Рассмотрим некоторые свойства корреляционных функций.

1. Начальное значение корреляционной функции, как это следует из выражения (1.57) при равно среднему значению квадрата случайной функции, т. е.

2. Конечное значение корреляционной функции равно квадрату математического ожидания случайной функции, т. е.

Действительно, при достаточно больших значения взаимно независимы и плотность распределения второго порядка может быть представлена в виде произведения плотностей распределения первого порядка

и можно написать

3. Корреляционная функция есть четная функция от

Действительно,

4. Значение корреляционной функции при любом х не может превышать ее начального значения т. е.

Отметим, что

Левая часть последнего равенства не может быть отрицательной. Поэтому откуда получим выражение (1.64).

5. Корреляционная функция суммы определяется выражением

6. Корреляционная функция произведения и вообще говоря, не может быть выражена через моменты второго порядка. Однако, если независимы, не зависят от

В этом случае

т. е.

7. Взаимокорреляционные функции в отличие от корреляционных функций не являются четными, из выражения (1.59) следует, что

8. Квадрат значения взаимокорреляционной функции при любом не превышает произведения начальных значений соответствующих корреляционных функций, т. е.

Действительно,

Это выражение неотрицательно для любого а и поэтому его дискриминант не может быть положительным, откуда и следует неравенство (1.68).

Рис. I.5. Типичная корреляционная функция стохастического процесса

Рис. I.6. Корреляционная функция белого шума

9. Так как геометрическое среднее двух чисел не превышает их арифметического среднего, то

На рис. 1.5 изображена типичная корреляционная функция стохастического процесса с неравным нулю средним значением.

Чем быстрее функция стремится к постоянному значению тем слабее взаимосвязь между последующими значениями функции Время при котором имеет место неравенство

где — достаточно малая величина, называется временем корреляции стохастического процесса. Стохастический процесс в котором отсутствует взаимосвязь между предыдущими и последующими значениями называется абсолютно случайным процессом, или белым шумом. В случае белого шума время корреляции и корреляционная функция представляет собой -функцию (рис. 1.6).

Выражением (1.58) формально можно пользоваться не только применительно к стационарным случайным функциям, но и к обычным периодическим функциям.

В виде примера найдем корреляционную функцию для случая, когда понимая под термином «корреляционная функция» просто результат применения к функции операции, выражаемой интегралом (1.58). В этом случае можно написать

При достаточно большом с любой степенью точности можно написать

Функция имеет тот же период, что и функция но в отличие от нее является четной и не зависящей от фазы Точно так же можно показать, что для функции

корреляционная функция имеет вид

Если же сигнал представляет собой стационарную случайную функцию с наложенной на нее периодической составляющей, то корреляционная функция также будет содержать периодическую составляющую с тем же периодом и, следовательно,

будет иметь вид, изображенный на рис. 1.7. Здесь через обозначена корреляционная функция, соответствующая случайной составляющей функции Заметим, что взаимная корреляционная функция двух периодических функций, имеющих одну и ту же основную частоту, сохраняет эту основную частоту и те же гармоники, которые принадлежат обеим функциям.

Рис. 1.7 Корреляционная функция сигнала, содержащего периодическую составляющую

Найдем корреляционную функцию для телеграфного сигнала, т. е. для функции которая может принимать одно из двух значений: +1 или -1 (рис. 1.8).

Предположим, что среднее число перемен знака функции в единицу времени равно X. При этом вероятность перемены знака в интервале не зависит от того, что происходит вне пределов этого интервала. Можно показать, что корреляционная функция рассматриваемого стационарного стохастического процесса, называемого телеграфным сигналом, определяется выражением

Рассмотрим теперь типичный входной сигнал следящей системы радиолокатора. При этом в качестве первого приближения будем считать, что цель движется с угловой скоростью, сохраняющей постоянное значение в течение некоторого интервала времени, а затем угловая скорость внезапно изменяется и сохраняет другое постоянное значение в течение следующего интервала времени и т. д. Эти изменения угловой скорости могут соответствовать маневрам цели. Кривая изменений угловой координаты цели относительно радиолокатора в этом случае будет иметь вид, изображенный на рис. 1.9, а. В рассматриваемом нами случае функция не представляет собой стационарной случайной функции. Поэтому вместо того, чтобы искать корреляционную функцию процесса мы найдем корреляционную функцию для производной Производная (рис. 1.9,6) в отличие от является стационарной случайной функцией, в первом приближении сохраняющей постоянное значение в течение каждого из последующих интервалов. Поэтому можно написать

Рис. 1.8. Телеграфный сигнал

где независимые случайные величины, имеющие одно и то же распределение; интервалы также представляют собой, независимые случайные величины, имеющие одну и ту же функцию распределения вероятности.

Определим сначала вероятность нахождения функций и в одном интервале. Из определения функции следует, что эта вероятность будет равна вероятности отсутствия перемены знака в случае телеграфного сигнала, рассмотренного выше.

Рис. 1.9. Типичный входной сигнал следящей системы радиолокатора: а — управляющий ; б — его производная

Итак,

где через обозначена величина, обратная среднему значению интервалов

Затем найдем корреляционную функцию для . В зависимости от того, находятся ли моменты и в одном и том же или в двух различных интервалах имеем

или

Задаваясь определенным распределением моментов времени найдем вначале среднее по совокупности для Так как не зависит от то

если моменты относятся к одному и тому же интервалу и

если эти моменты относятся к разным интервалам. Но вероятность того, что лежат в одном и том же интервале, равна Поэтому, усредняя по всем возможным

ниям и имея в виду, что вероятность нахождения в разных интервалах равна получим

На практике корреляционную функцию обычно приходится определять при помощи обработки экспериментальных данных, представляющих собой запись или реализацию изучаемого случайного процесса. Для того чтобы пояснить способ определения корреляционной функции соответствующей заданной экспериментальной кривой рассмотрим формулу

Разделим промежуток времени Т на весьма малых интервалов А так, чтобы функция мало изменялась на протяжении интервала (рис. 1.10), т.е. положим, что Будем придавать их дискретные значения, кратные А, т. е.

Рис. 1.10. Определение корреляционной функции из экспериментальных данных

Очевидно, что при сделанных допущениях интеграл в формуле (1.75) можно заменить знаком суммы и написать

при .

Далее введем следующие обозначения:

тогда последнее выражение примет вид

Если теперь ограничиться рассмотрением лишь положительного промежутка времени Т и принять во внимание, что при

то окончательно получим

Точно так же для ординат взаимной корреляционной функции определяемой формулой (1.60), приближенно можно написать

Формулы (1.77 а) и (1.77 б) показывают, каким образом могут быть вычислены корреляционная функция экспериментальной кривой и взаимная корреляционная функция кривых при помощи измерения ординат этих кривых, расположенных друг от друга на расстоянии А в пределах рассматриваемого интервала Т.

Рис. 1.11. Пример коррелограмм, найденных из экспериментальных данных

Когда , оказывается удобным вводить в рассмотрение нормированную корреляционную функцию

при этом очевидно, что

Примеры кривых определенных из эксперимента и называемых коррелограммами, приведен на рис. 1.11, а, б.

Экспериментально определенные кривые часто удается приближенно представить в виде функции (рис. 1.11,б).

Приведенный выше способ определения корреляционной функции по экспериментальным данным представляет собой достаточно трудоемкий процесс. Так, например, для того чтобы вычислить ординату корреляционной функции, необходимо произвести действий умножения и действий сложения.

Имея в виду, что при изучении случайных процессов часто оказывается необходимым определять большое число корреляционных кривых, легко понять, насколько желательно располагать приборами, которые могли бы осуществлять вычисление корреляционной функции автоматически. Формулы (1.58) и (1.60) показывают, что такого рода приборы, которые называют корреляторами (рис. 1.12) должны производить следующие операции:

1) преобразовывать ординаты кривых (заданных, например, в виде осциллограмм) в некоторые пропорциональные им физические величины (перемещения, напряжения и т. д.);

Рис. 1.12. Структурная схема коррелятора

2) производить перемножение величин, соответствующих ординатам кривых для значений сдвинутых относительно друг друга на величину интегрировать результат умножения в пределах выбранного промежутка кроме того, прибор должен допускать регулировку сдвига между перемножаемыми ординатами кривых в требуемых пределах.

Технические варианты осуществления коррелятора могут быть различными (см. например, [3]).