6. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ЗАДАЧИ ВИНЕРА. СТАТИСТИЧЕСКОЕ УПРЕЖДЕНИЕ

Перейдем к применению общей формулы (VI 1.97) для оптимальной передаточной функции в различных частных случаях. Назовем задачей статистического упреждения способ нахождения при отсутствии помех передаточной функции системы, дающей минимум среднего значения квадрата ошибки:

между величиной на выходе в момент времени и величиной на входе в некоторый будущий момент времени (рис. VII.13).

Рис. VII.13. Структурная схема, поясняющая постановку задачи статистического упреждения

Очевидно, что в рассматриваемом случае [см. формулы (VI 1.87), (VII.92), (VII.93), (VII.96)] и при

формула (VII.97) для оптимальной передаточной функции принимает следующий вид:

Минимальное среднее значение квадрата случайной ошибки упреждения определяется формулой

где

Пример. Будем считать, что спектральная плотность определяется следующей зависимостью:

тогда

Следовательно,

Преобразование Фурье для функции может быть найдено в виде

Итак, для оптимальной передаточной функции запишем

а минимальное среднее значение квадрата ошибки будет определяться зависимостью

Сглаживание, или фильтрация. Назовем задачей сглаживания задачу определения передаточной функции, обеспечивающей минимум среднеквадратической ошибки воспроизведения полезного сигнала при наличии помех (рис. VII.14).

Рис. VII. 14. Структурная схема, поясняющая постановку задачи статистического сглаживания или фильтрации

Если для простоты предположить, что корреляция между полезным сигналом и помехой отсутствует, т. е.

то формула (VI 1.97) для оптимальной передаточной функции принимает вид

Согласно формуле (VII. 101) выражение для минимального среднего значения ошибки сглаживания

Поясним последовательность операций, необходимых для вычисления оптимальной передаточной функции в случае решения задачи сглаживания для дробно-рациональной функции Для этого предположим, что функции заданы в виде дробнорациональных функций от . Приведя выражение к общему знаменателю и учитывая, что функция является четной функцией от запишем

Найдя корни числителя и знаменателя , выражения (VI 1.113) и отобрав те из них, которые расположены в верхней полуплоскости, получим

где

Отобрав корни числителя и знаменателя, расположенные в нижней полуплоскости, найдем

Пусть

тогда

Разлагая выражение (VII. 117) на простые дроби, получим

где

Подставляя соотношение (VII.118) в выражение для имеющее в случае задачи сглаживания вид

найдем

где первый интеграл определяет функцию при а второй — при

Далее найдем функцию являющуюся преобразованием Фурье для функции положительных значениях

Так как при

то ясно, что

Разделив на получим выражение для искомой функции т. е.

В качестве примера предположим, что полезный сигнал сохраняет постоянное по величине абсолютное значение а и что среднее число перемен

его знака в единицу времени равно Спектральная плотность такого сигнала имеет вид

В качестве помехи возьмем белый шум, т. е. предположим, что

Выберем для простоты коэффициенты в формуле (VII. 122) так, чтобы можно было написать

Найдем передаточную функцию, обеспечивающую наилучшее по минимальной среднеквадратической ошибки воспроизведение сигнала

На основании формул (VII.123) и (VII.124) получим

или

откуда

и, следовательно,

Отбрасывая в выражении (VII.127) второй член в скобках, соответствующий полюсу в нижней полуплоскости, найдем

и, следовательно,

Дифференцирование. Рассмотрим теперь применение формулы (VII.97) при расчете схемы, дающей производную от сигнала, загрязненного помехами. Такого рода задача, как известно, имеет большое значение при проектировании и расчете следящих систем дифференцирующего типа. Предположим, что на полезный сигнал содержащий низкие частоты, накладываются

высокочастотные помехи т. е. на вход дифференцирующего устройства (рис. VI 1.15) поступает суммарный сигнал

Если устройство имеет широкую полосу пропускания и на выходе дает точную производную от , т. е. определяет величину то сигнал на выходе будет в основном определяться не производной полезного сигнала, а помехами. Если же выбрать полосу частот пропускания слишком узкую, то мы не учтем действительный характер изменения входного сигнала. Таким образом, по-видимому, существуют некоторые оптимальные условия.

Рис. VII.15. Структурная схема дифференцирующей следящей системы

Из критерия минимума среднеквадратической ошибки, характеризующей в данном случае точность дифференцирования, эти условия, очевидно, будут определяться минимумом выражения

В рассматриваемом случае

и оптимальная передаточная функция дифференциатора определяется формулой

Аналогичным способом можно было бы найти оптимальную передаточную функцию и для дифференциатора второго или более высокого порядка.

В качестве примера определим оптимальную передаточную функцию дифференциатора первого порядка.

Будем считать, что

b

тогда

поэтому

Представим выражение (VII. 133) в виде

при этом неизвестные коэффициенты очевидно, должны удовлетворять уравнениям

Так как второе слагаемое в формуле (VII. 134) имеет полюсы в нижней полуплоскости, то оно нас не интересует. Поэтому нам достаточна определить коэффициенты А к В. Исключая из уравнений (VII. 135) С и найдем

Решение системы уравнений (VII. 136) дает

поэтому

для оптимальной передаточной функции получим

Заметим, что при функция стремится к как это и должно быть.

Случай высокого уровня помех. Наконец в качестве последней иллюстрации применения общей формулы (VI 1.97) рассмотрим случай, когда необходимо отделить очень слабый полезный сигнал от высокого уровня помех и одновременно решить задачу упреждения этого сигнала.

При надлежащем нормировании спектральной плотности помех можно положить, что

тогда

Для того чтобы разложить на множители, введем функцию

С помощью вариации ошибки запишем

откуда приближенно можно написать

и, следовательно,

Тогда

Итак, в первом приближении найдем

Если в полученном выражении положить то

т. е. оптимальная передаточная функция имеет в первом приближении такой же вид, как и спектральная плотность полезного сигнала.

Можно также показать, что во втором приближении оптимальная передаточная функция будет