7. ПОСТРОЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ДЛЯ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

Метод, основанный на использовании логарифмических частотных характеристик, в котором логарифмический масштаб по оси амплитуд позволяет точнее учитывать смещенные спектры в формуле (XIII.54), дает более высокую точность.

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Введем амплитудные и фазовые характеристики дискретной и непрерывной систем в виде

С учетом этих формул можно написать

В соответствии с полученной формулой можно рекомендовать:

1) построить амплитудную и фазовую характеристики непрерывной системы. При наличии запоминающего элемента его передаточная функция включается в непрерывную часть системы;

2) сместить характеристики вправо, т. е. выполнить

и

3) с помощью номограммы замыкания характеристики и 2) просуммировать по формуле

Для этого необходимо:

а) вычесть амплитудные и фазовые характеристики из характеристики

б) с помощью номограммы замыкания получить характеристики замкнутой системы, соответствующие характеристикам разомкнутой системы

в) построить характеристики, обратные полученным в

г) сложить характеристики, полученные в с характеристиками

4) сместить характеристики влево, т. е. выполнить

и

5) с помощью номограммы замыкания и формулы, приведенной в просуммировать характеристики Практически для большинства систем достаточно в формуле (XIII.56) принять т. е. произвести одно смещение вправо.

При другом методе суммирования смещенных характеристик [9] используют номограммы вещественных и мнимых частей (рис. XII 1,23,а, б). По несмещенным и смещенным логарифмическим характеристикам с помощью номограмм определяют соответствующие значения вещественной и мнимой частей, которые затем складываются попарно. При этом порядок суммирования следующий: несмещенные характеристики со смещенными вправо на далее характеристики с и

Рис. XIII.24. Амплитудные частотные характеристики разомкнутой астатической дискретной системы управления: а — при равномерном масштабе по оси абсцисс; б - при логарифмическом масштабе по оси абсцисс

После того как получены суммарные характеристики вещественной и мнимой частей с помощью тех же номограмм, обратным способом строят логарифмические характеристики дискретной системы.

Построение логарифмических характеристик дискретной системы значительно облегчается, если учесть некоторые свойства. Так как амплитудная частотная характеристика дискретной системы является периодической и четной функцией частоты (рис. XIII.24), то ее построение целесообразно производить только в интервале частот от 0 до так как в интервале она симметрично повторяется.

Фазовая частотная характеристика дискретной системы является периодической асимметричной функцией частоты (рис. XIII.25). Амплитудную и фазовую характеристики дискретной системы строят на плоскости в диапазоне частот , в логарифмическом масштабе, по оси абсцисс откладывают

а по оси ординат — соответственно амплитуду в децибеллах и фазу в градусах.

Перед построением ось абсцисс размечается таким образом, чтобы точка лежала в крайнем правом положении. Далее строят амплитудную и фазовую характеристики соответствующей непрерывной системы в диапазоне частот от 0 до

Рис. XIII.25. Фазовые, частотные характеристики разомкнутой дискретной системы регулирования: а — при равномерном масштабе по оси абсцисс; б — при логарифмическом масштабе по оси абсцисс

Для учета влияния характеристик непрерывной системы в диапазоне частот от до эти характеристики смещают влево на по формулам (X 111.59) (рис. XIII.26).

Однако в большинстве случаев смещение влево не делается и ограничиваются одним смещением вправо.

Для получения характеристик необходимо построить кривую, симметричную относительно прямой,

(кликните для просмотра скана)

параллельной оси ординат и проходящей через точку (рис. XIII.27), а для построения характеристики в интервале частот от до следует взять участок амплитудной характеристики в интервале частот:

Аналогичным образом поступаем при смещениях фазовой характеристики непрерывной системы вправо (рис. XIII.26). Для этого согласно формулам (XIII.57) переворачиваем фазовую характеристику симметрично относительно прямой - 180°. Заметим, что симметричные перестроения фазовой характеристики относительно прямой 0° или — 180° дают одну и ту же кривую. На этом основании участок перевернутой характеристики в интервале частот от 0 до если его зеркально перевернуть слева направо, дает первую смещенную вправо кривую — а участок кривой в интервале частот от до — дает вторую смещенную кривую и т. д.

Часто бывает достаточно учитывать одну первую фазовую характеристику, смещенную вправо. При построении смещенных частотных характеристик вместо графических построений можно производить вычисления их значений аналитически. Для этого составляется таблица, в которую с графиков снимаются значения амплитудной и фазовой характеристик при разных частотах.

Затем с помощью формул (XIII.57) и (XIII.59) определяют значения соответствующих смещенных частотных характеристик, которые заносятся в таблицу, после чего производится их графическое построение или сложение с несмещенными частотными характеристиками по формуле (XIII.58). Так как в качестве исходных данных при этом используются значения частотных логарифмических характеристик соответствующей непрерывной системы при и сложение смещенных и несмещенных характеристик производят в интервале частот то при всех вычислениях вместо формул (XIII.57) удобнее использовать следующие соотношения:

Эти зависимости следуют из формул (XIII.57), если учесть свойства симметричности амплитудно-частотной и асимметричности фазо-частотных характеристик.

Просуммируем последовательно эти характеристики с суммарными характеристиками, полученными при смещении влево; причем суммирование характеристики несмещенных, смещенных вправо и влево достаточно производить в интервале частот

Как уже указывалось выше, форма частотных характеристик дискретной непрерывной системы в основном определяется двумя парами частотных характеристик, несмещенных и смещенных вправо Отметим некоторые свойства сумм этих двух пар характеристик, так как они определяют вид окончательных характеристик. Основным для характеристики дискретной системы являются значения амплитуды и фазы этих характеристик при частоте Используя свойство логарифмических характеристик дискретно-непрерывной системы

и

для имеем

Из последней формулы получим следующие два случая:

при этом

при этом

С помощью формулы (XIII.61) можно проверить правильность построения амплитудной логарифмической характеристики

дискретной системы. Значение этой характеристики при частоте отличается от значения амплитудной характеристики соответствующей непрерывной системы при частоте на сумму 6 дБ и значения в децибеллах косинуса фазовой характеристики при этой частоте.

Рис. XIII.28. Построение логарифмических частотных характеристик дискретных систем:

Соотношения, аналогичные формуле (XIII.61), можно написать для любой пары смещенных спектров в виде

В общем случае имеем

Из последней формулы следует, что фазовая характеристика при может иметь только два значения или

На рис. XIII.28 построены логарифмические частотные характеристики дискретной системы по двум парам смещенных характеристик для частных случаев: .

Рис. XIII.29. Изменение фазовых характеристик дискретной системы в зависимости от величины тгсо

Интересно отметить, что при значении фазы соответствующей непрерывной системы с переходом к дискретному режиму работы устойчивость системы улучшается, так как в этом случае за счет дискретности как бы вносится опережение. Поэтому для повышения устойчивости целесообразно выбирать интервал дискретности таким образом, чтобы значение фазовой характеристики непрерывной системы лежало в указанных выше пределах.

На рис. XIII.29 приведено изменение для фазовых характеристик дискретной системы при разных или При значениях близких к нулю

Частотные характеристики системы с запоминающим звеном нулевого порядка строятся в соответствии с формулой

Построение частотных характеристик по этой формуле производится по приведенной выше схеме. В данном случае в качестве исходных частотных характеристик надо использовать амплитудную и фазовую характеристики выражения

Заметим, что амплитудная характеристика этого звена близка к характеристике звена , а фазовая — отличается приблизительно на фазу звена так как

Только в области частот, близких наблюдается их некоторое отличие. Множитель целесообразно учитывать в выражении (XIII.63) по следующей причине. Для того чтобы проверить правильность построения частотных характеристик выражений (XIII.62) и (XIII.63), надо сравнить их с частотными характеристиками Если не учитывать множитель то амплитудные частотные характеристики этих выражений будут отличаться на и их сравнение выполнить трудно. При построении характеристики дискретной системы с запоминающим элементом целесообразно вначале построить отдельно логарифмические частотные характеристики выражения и затем После этого их следует сложить.

Для определения логарифмических характеристик последнего выражения необходимо с помощью таблиц построить амплитудную и фазовую характеристики , а затем с помощью диаграммы замыкания построить

Для дискретной системы знаменатель передаточной функции часто имеет вид

Соответствующая непрерывная система имеет знаменатель передаточной функции вида

В случае непрерывной системы построение частотных характеристик можно производить по формуле

Для этого сначала строят логарифмические частотные характеристики , а затем их складывают. В результате получают характеристики разомкнутой системы, по которым можно судить о ее устойчивости.

Формулу (XIII.64) можно написать в виде

Поэтому построение характеристик дискретных систем нельзя производить смещением характеристик, соответствующих выражению (XIII.66), т. е.

Согласно формулам (XIII.64) и (XIII.67) необходимо по отдельности получить суммы смещенных частотных характеристик каждого слагаемого и а затем суммировать их с помощью диаграммы замыкания.

Пример 2. В качестве примера рассмотрим систему управления, структурная схема которой приведена на рис. XIII.13. Передаточные функции звеньев задаются следующими выражениями: для непрерывной части системы

где

Передаточная функция запоминающего элемента Интервал дискретности выбран сек. Расчет будем производить в соответствии с изложенными выше методами. Первоначально строятся частотные характеристики разомкнутой непрерывной системы Затем согласно формуле (XI1I.63) строим (рис. XIII.30) амплитудную и фазовую

характеристики непрерывной системы с запоминающим звеном Из приведенных кривых видно, что амплитудная характеристика звена близка к амплитудной характеристике звена а фазовая отличается примерно на фазу звена (см. рис. ХIII.30).

Рис. ХIII.30. Логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики дискретной системы автоматического регулирования: 1 — амплитудная и 2 — фазовая частотные характеристики для передаточной функции амплитудная и 4 — фазовые частотные характеристики для передаточной функции ; 5 и 6 — фазовая и амплитудные частотные характеристики для передаточной функции — амплитудная и фазовая частотные характеристики для передаточной функции