6. О ПОСТРОЕНИИ ДИАГРАММ НАКОПЛЕНИЙ ОТКЛОНЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ УСТОЙЧИВОЙ СИСТЕМЫ И ДРУГИХ ВЕЛИЧИН НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ ВРЕМЕНИ

Рассмотрим построение диаграммы накопления отклонений системы на конечном интервале времени в случае возмущения, ограниченного по модулю. Накопленное отклонение в этом случае определяется выражением (IV.7),

исследование которого показывает следующее: диаграмма накопления совпадает на всем отрезке времени с переходным процессом для системы с монотонным переходным процессом, вызванным внешним единичным возмущением модулем возмущения, равным единице); диаграмма накопления совпадает на отрезке времени с переходным процессом для системы с немонотонным переходным процессом, вызванным внешним единичным возмущением , где момент времени, соответствующий первому максимуму функции

Рис. IV.3. Диаграмма накопления отклонений

Действительно, в указанных случаях знак остается постоянным и, следовательно,

Для моментов времени

величина, заключенная в скобках, представляет отклонение переходного Процесса от максимума, достигнутого в момент времени Являясь величиной отрицательной, она суммируется по своей абсолютной величине с величиной т. е.

Таким образом, для моментов времени диаграмма накопленного отклонения представляет симметричное отображение отрезка кривой переходного процесса относительно прямой (рис. IV.3). К моменту времени величина достигает значения

Для моментов времени

Выражение, заключенное в квадратных скобках, представляет собой отклонение переходного процесса от величины максимума достигнутого в момент времени На участке диаграмма представляет также отрезок переходного процесса, смещенного на величину

Следовательно, для продолжения диаграммы накопления при необходимо лишь построить кривую переходного процесса и составить диаграмму накопления последовательно из отрезков и их зеркальных отображений, взятых в зонах,

имеющих постоянный знак функции припасовывая каждый отрезок переходного процесса в моменты времени

Диаграмма накопления отклонений является монотонной кривой, где в соответствующие моменты времени производная диаграммы накопления равна нулю. Диаграмма накопления отклонения асимптотически стремится к значению Хщахтах при так как переходной процесс системы асимптотически стремится к установившемуся значению при

В настоящее время в теории автоматического регулирования возникают задачи определения накопления функционалов регулируемой величины по скорости, ускорению и т. д. Определим накопленные отклонения сложных функций регулируемой величины в предположении ограничения возмущения по модулю или при ограничении по модулю производной возмущения а также разработаем графо-аналитический метод построения диаграммы накопления отклонений во времени.

Пусть устойчивая линейная система автоматического регулирования описывается уравнением

где — полиномы от причем степень полинома выше степени полинома и -изображения соответствующих функций.

Рассмотрим вопрос о накоплении регулируемой величины вида:

при воздействии на систему возмущения ограниченного по модулю:

Ее изображение

Используя теорему о свертке функций, получим

где

— условная „суммарная переходная" функция системы.

Накопление функции при ограничении модуля определяется условиями

на всем интервале времени Применяя условие накопления функции найдём для каждого последовательность моментов времени являющихся корнями уравнения . В этом случае максимальное накопленное значение функций будет

где экстремумы „суммарной переходной" функции Далее рассмотрим процесс накопления скорости системы а также величин вида при возмущении ограниченном по модулю. Накопление величины определяется выражением (IV. 19). Поскольку структура выражений при подстановке вместо значения соответствующей импульсной функции системы, идентична, остается в силе вывод о совпадении диаграммы накоплений и импульсной переходной функции системы на промежутке времени — корни уравнения

Так как накопление отклонения скорости аналогично накоплению отклонения функции то можно придти к очевидному заключению о том, что диаграмма накопления скорости х (Отах составлена из отрезков импульсной функции, взятых в пределах постоянства знаков у импульсной функции. В случае

0 участки импульсной функции совпадают с соответствующими участками диаграммы накопления Если с диаграммой накопления совпадают зеркальные отображения относительно прямой соответствующих отрезков импульсной функции.

Таким образом, определяя импульсную переходную функцию и приплюсовывая отрезки импульсной функции (или их зеркальные отображения) в моменты времени составим диаграмму накопления скорости отклонения. Диаграмма накопления скорости является монотонной функцией с производными, равными нулю в точках Эта функция асимптотически стремится к значению поскольку импульсная функция асимптотически стремится к нулю при .

Рассмотрев накопление скорости легко установить аналогию в процессах накопления второй, третьей и высших производных систем при воздействии возмущения

ограниченного по модулю. Выражение получаемых максимальных отклонений указанных величин не отличаются от рассмотренных выше, если предположить, что функции будут замещены соответствующими значениями импульсной функции второго, третьего и других высших порядков. Моменты времени будут, в свою очередь, определять интервалы времени постоянства знака у рассматриваемых импульсных функций.

Процесс накопления производных, аналогично случаю накопления отклонений и скорости будет совпадать с соответствующей импульсной функцией в интервале времени Согласно предыдущему, построение диаграммы накопления указанных величин состоит в последовательном припасовывании отрезков импульсных функций (при положительной производной рассматриваемой импульсной функции) или зеркальных отображений при отрицательной производной рассматриваемой импульсной функции) в интервалах времени

Для построения диаграммы накопления функции следует определить суммарную переходную функцию Построение диаграммы накопления отклонений функции производится аналогично описанному выше приему по суммарной переходной функции.