3. ПОСТРОЕНИЕ ЖЕЛАЕМОЙ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ АМПЛИТУДНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ И ОТСУТСТВИИ ПОМЕХ

Остановимся несколько подробнее на выборе и построении желаемой логарифмической амплитудной характеристики при заданных значениях для показателей качества переходного процесса, вызываемого единичным ступенчатым управляющим воздействием в отсутствии помех (см. § 12, гл. XVI, кн. 1).

Реализация трансцендентных оптимальных частотных характеристик, способ определения которых был изложен выше, может быть связана со значительными техническими трудностями. Кроме того, она часто и не является необходимой, поскольку далеко не всегда обязательно иметь монотонные переходные процессы и обычно можно удовлетвориться временем переходного процесса, значительно большим, чем Поэтому важно уметь быстро находить характеристики, удовлетворяющие наилучшим образом противоречивым требованиям. Например, между условиями оптимума и другими, часто противоречивыми, требованиями, подлежащими учету при решении задачи синтеза, в частности, допустимой сложностью корректирующих устройств.

Выбор желаемой логарифмической амплитудной характеристики можно производить при помощи приведенных ниже правил, вытекающих из связи между свойствами логарифмических частотных характеристик разомкнутой и вещественных частотных характеристик замкнутой систем, которые рассмотрены в главе XVI, кн. 1.

Рассмотрим следующий порядок действий для определения желаемой логарифмической амплитудной характеристики:

1. Зная требуемый порядок астатизма и предполагая, что передаточный коэффициент К является заданной величиной, строим логарифмическую амплитудную характеристику объекта или неизменяемой части системы с учетом заданного значения и требуемого порядка астатизма т. е.

Принимаем низкочастотную асимптоту этой логарифмической амплитудной характеристики за низкочастотную асимптоту желаемой логарифмической амплитудной характеристики. Последняя

при частотах, меньших первой сопрягающей частоты, имеет наклон и при имеет ординату, равную

2. Частоту среза желаемой логарифмической амплитудной характеристики выбираем так, чтобы она удовлетворяла неравенству

где — частота среза, определяемая при помощи кривых на рис. VIII.2 по заданным значениям для

— частота среза оптимальной логарифмической амплитудной характеристики, определяемая по формуле (VI 1.26).

Примечание I. Если заданное значение таково, что то частоту среза сос следует выбирать не превышающей значения .

3. Через точку проводим прямую с наклоном — (среднечастотная асимптота желаемой логарифмической амплитудной характеристики).

Рис. VIII.2. Кривые — для — для

4. По заданному значению атах в находим при помощи кривой (см. рис. VIII.2) соответствующее значение определяем по формуле

Далее, используя номограмму (рис. VII 1.3), находим наименьшее допустимое значение избытка фазы системы обеспечиваемое на всем интервале частот, на котором желаемая логарифмическая амплитудная характеристика удовлетворяет неравенству

Примечание II. Величины являются сторонами прямоугольника, которым приближенно можно заменить область на рис. VIII.3, ограничиваемую кривой с индексом, равным найденному значению Ртах. Этот прямоугольник при отмечен на рис. VIII.3 пунктиром.

Рис. VIII.3. Определение требуемого избытка фазы в области средних частот

5. Низкочастотную и среднечастотную асимптоты логарифмической характеристики сопрягаем так, чтобы в том интервале частот, в котором справедливо неравенство

избыток фазы был не меньше величины Проверку выполнения этого условия производим при помощи приближенной формулы (см. гл. XII. кн. 1)

где — сопрягающие частоты, меньшие того значения , при котором определяется значение фазы — число сопрягающих частот, в которых наклон логарифмической амплитудной характеристики соответственно увеличивается или уменьшается на

В формуле (VIII.24) частоты сопряжения, превышающие частоту среза, не принимаются во внимание, так как обычно среднечастотная асимптота желаемой логарифмической амплитудной характеристики занимает значительный интервал частот порядка декады или больше.

6. Среднечастотную асимптоту желаемой логарифмической амплитудной характеристики сопрягаем с высокочастотной частью логарифмической амплитудной характеристики (областью малых параметров) так, чтобы в том интервале частот, в котором справедливо неравенство

избыток фазы был не меньше с.

Проверку выполнения этого условия производим при помощи приближенной формулы (см. гл. XII, кн. 1)

где — наклон среднечастотной асимптоты логарифмической амплитудной характеристики (при наклоне — имеем — число сопрягающих частот удовлетворяющих условию

Примечание III. При сопряжении среднечастотной асимптоты с низкочастотной, а также с высокочастотной частью желаемой логарифмической амплитудной характеристики особое внимание следует обращать на то, чтобы желаемая логарифмическая амплитудная характеристика имела наклон, возможно менее отличающийся от наклона логарифмической амплитудной характеристики объекта регулирования на каждом из участков сопрягающих частот. Это необходимо для того, чтобы получить возможно более простую передаточную функцию корректирующего устройства (т. е. имеющую числитель и знаменатель возможно более низкого порядка). Однако, если максимальная разность в наклонах обеих характеристик на каком-либо участке равна то это означает, что порядок (числителя или знаменателя) передаточной функции должен быть не ниже

Поясним теперь кривые на рис. VIII.2, а, б и способ определения по ним величины входящей в неравенство (VIII.22). Кривые сюах получены на основании графического построения переходных процессов, соответствующих типовым вещественным частотным характеристикам (рис. VIII.4) для значений параметров, приведенных на рис. VIII.2.

Кривая 1 (рис. VI 11,2, а, б) позволяет определить максимально возможные перерегулирования стах, которые могут иметь

место при данном значении максимума вещественной частотной характеристики Ртах, или, наоборот, величину Ртах, при которой еще можно гарантировать, что перерегулирование не будет превышать максимального допустимого значения . Точно так же кривая 2 позволяет определить максимальное возможное время переходного процесса при заданных значениях , а также частоты среза или, наоборот, частоту среза заданных значениях и .

Рис. VIII.4. Типовая вещественная частотная характеристика

Величина , входящая в неравенство (VIII.22), может быть определена при помощи этих кривых следующим образом. Предположим, что максимальные допустимые значения времени переходного процесса и величины перерегулирования равны соответственно и . Тогда, пользуясь кривой находим допустимое при данном атах значение для максимума вещественной частотной характеристики , а затем по кривой 2 находим ординату, соответствующую найденному значению Ртах. Эта ордината равна и она определяет заданное значение . Итак,

Пример 1. Пусть сек. Необходимо найти -Пользуясь рис. VIII.2, f, по кривой 1 находим, что Восстановив из точки перпендикуляр до пересечения с кривой 2, определим, Но для Отсюда следует,

Итак, если выбрать частоту среза желаемой логарифмической амплитудной характеристики меньшей, чем то нельзя гарантировать, что время переходного процесса получится меньшим . В то же время частоту среза не следует выбирать большей так как она все равно едва ли сможет быть осуществлена вследствие ограниченности ускорения. Кроме того, всякое излишнее увеличение сос нежелательно, так как обычно возрастает сложность корректирующих устройств и возрастает влияние помех.

Наклон среднечастотной асимптоты выбирается равным так как такой наклон имеет оптимальная

логарифмическая амплитудная характеристика. Кроме того, меньший наклон обычно трудно осуществить, а больший наклон в значительном интервале частот не обеспечивает надлежащего запаса устойчивости.

Согласно пункту 4 определим, что для получения условия должно быть соблюдено неравенство

при всех при которых

Поясним на конкретном примере, каким образом следует выбирать величины входящие в формулы (VIII.23), VIII.24) и (VIII.25).

Пример 2. Пусть атах Пользуясь кривой 1 (рис. VIII. найдем, что тогда По номограмме (рис. VIII.3) находим, что требуемое неравенство

обеспечивается запасами устойчивости по фазе и модулю дб, так как при этом логарифмическая амплитудно-фазовая характеристика не попадает внутрь области, отмеченной на рис. VIII.3 пунктиром, в которой расположены кривые с индексами

Пример 3. Поясним методику построения желаемой логарифмической амплитудной характеристики, изложенную выше на конкретном примере. Предположим, что передаточная функция объекта регулирования имеет вид

На систему регулирования заданы следующие условия качества:

система должна иметь астатизм первого порядка и передаточный коэффициент К системы должен равняться 200 Мсек;

перерегулирование с не должно превышать

время переходного процесса не должно превышать сек.

Требуется построить желаемую логарифмическую амплитудную характеристику системы регулирования. Для этого:

1) строим низкочастотную логарифмическую амплитудную характеристику (VIII.27) с учетом того, что (рис. VIII.5);

2) выбираем частоту среза желаемой логарифмической амплитудной характеристики равной 1,5 рад/сек, имея в виду, что в рассматриваемом случае неравенство (VIII.22) принимает вид

3) проводим среднечастотную асимптоту желаемой логарифмической амплитудной характеристики;

4) пользуясь рис. VIII.2 и номограммой, приведенной на рис. VIII.3, найдем дб и

5) учитывая примечание III, сопрягаем низкочастотную и среднечастотную асимптоты желаемой "логарифмической амплитудной характеристики отрезком прямой, имеющим наклон —40 дб/сек. Пользуясь формулой (VIII.25), находим, что наибольшее значение сопрягающей частоты при котором еще равно (если корректирующим устройством служит пассивный электрический контур, то чем больше значения создаваемых им сопрягающих частот, тем они обычно легче осуществимы);

6) среднечастотную асимптоту сопрягаем с высокочастотной частью логарифмической амплитудной характеристики при этом проверка с помощью формулы (VIII.25) показывает, что требуемый избыток фазы сохраняется при дб, т. е. что дб, между тем как в пункте 4 мы нашли, что дб. Однако номограмма на рис. VIII.3 показывает, что это может привести лишь к незначительному увеличению и некоторому не существенному ухудшению качества. Поэтому для того, чтобы не усложнять корректирующего устройства, примем, что логарифмическая амплитудная характеристика при остается такой, как это показано на рис. VIII.5. Итак, желаемая логарифмическая амплитудная характеристика найдена. Для уточнения ее вида можно использовать номограммы, приведенные в главе XVI.

Постараемся решить при помощи номограмм следующий вопрос: нельзя ли, не нарушая требований, предъявляемых к системе, изменить вид желаемой логарифмической амплитудной характеристики (рис. VIII.5) так, чтобы упростить вид передаточной функции корректирующего устройства, необходимого для ее осуществления.

Рис. VIII.5. Пример построения желаемой логарифмической амплитудной характеристики

Дело в том, что для получения требуемого избытка фазы в интервале частот, в котором имеет место неравенство необходимо было продолжить среднечастотную асимптоту желаемой логарифмической амплитудной характеристики до сопрягающей частоты объекта Для осуществления такой логарифмической амплитудной характеристики нужно ввести корректирующее устройство, которое сможет изменить наклон логарифмической амплитудной характеристики объекта в интервале частот и сделать его равным — вместо —

Рассмотрим теперь возможность изменения наклона логарифмической амплитудной характеристики объекта в указанном интервале для получения перерегулирования и времени протекания переходного процесса, не превышающие заданных значений. Для этого прежде всего устанавливаем, к какому типу логарифмических амплитудных характеристик можно отнести желаемую логарифмическую характеристику, и затем выбираем соответствующую номограмму.

Желаемую логарифмическую амплитудную характеристику для нашего примера следует отнести к III типу (см. рис. VIII.5), так как в интервале частот она имеет наклон а в интервале частот необходимо, чтобы она имела наклон

Выбрав номограмму III, наложим на нее желаемую логарифмическую амплитудную характеристику (рис. VIII.5) так, чтобы частота среза последней совпала с точкой 1 на оси относительных частот номограммы (рис. VIII.6). При этом сопрягающей частоте будет соответствовать уровень причем Далее пусть сопрягающая частота желаемой логарифмической амплитудной характеристики будет равна тогда логарифмической амплитудной характеристике III типа, имеющей параметры

согласно номограмме соответствуют следующие показатели качества: сек.

Для уменьшения стах переместим частоту сопряжения несколько влево так, чтобы относительная сопрягающая частота сделалась равной 0,014 (см. рис. VIII.6). Тогда получим сек, что с некоторым запасом удовлетворяет предъявляемым к системе требованиям.

Рис. VIII.6. Применение номограмм для уточнения желаемой логарифмической амплитудной характеристики

Правда, полученные значения показателей качества найдены без учета в желаемой логарифмической амплитудной характеристике сопрягающих частот равных соответственно сопрягающим частотам объекта регулирования. Однако эти частоты соответствуют ординатам желаемой логарифмической амплитудной характеристики, меньшим — 26 дб, и, следовательно, не могут значительно изменить показатели качества.

Итак, применение номограммы позволило уточнить вид желаемой логарифмической амплитудной характеристики с тем, чтобы ее осуществление было проще и она по-прежнему удовлетворяла поставленным требованиям качества и точности регулирования.