3. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЫХОДНОГО СИГНАЛА

При определении статистических характеристик выходного сигнала примем, что причем является случайной функцией времени с известной корреляционной функцией (см. рис. VI. 1). В этом случае в системе можно определить дисперсию, корреляционную функцию и спектральную

плотность выходного сигнала. Выходной и промежуточный сигналы системы запишем следующим образом:

Для определения статистических характеристик выходного сигнала ограничимся только первой функцией чувствительности, которая на основании формулы (VI.32) равна

При этом выходной сигнал будет

где

Подставим значение в выражение (VI.34)

Пользуясь формулой (VI.36), запишем корреляционную функцию выходного сигнала в виде

Дисперсию определим по формуле (VI .37), положив в ней Если является стационарной случайной функцией времени, то корреляционная функция выходного сигнала

При этом ее спектральная плотность будет иметь следующий вид:

В соответствии с формулой (VI.39) для расчета и экспериментального определения спектральной плотности выходного сигнала может быть использована схема, приведенная на рис. VI.4.

Рис. VI.4. Схема определения спектральной плотности

Перейдем к определению статистических характеристик выходного сигнала при совместном прохождении случайных и регулярных воздействий. Если в рассматриваемых выше случаях при

прохождении через систему регулярных воздействий на выходе определялось среднее значение, а при случайных воздействиях - корреляционные функций, дисперсии и спектральные плотности, то при совместном прохождении случайных и регулярных сигналов через систему возникает необходимость определения как средних, так и статистических характеристик выходного сигнала.

Предположим, что входной сигнал системы (рис. VI.1) состоит из регулярной и случайной составляющих, т. е. Известна также корреляционная функция Необходимо определить среднее значение, корреляционную функцию, дисперсию и спектральную плотность выходного сигнала. Для этого запишем выходной сигнал и сигнал в промежуточной точке в следующем виде:

Найдем первую и вторую функции чувствительности:

Пользуясь формулами (VI.40) и (VI.42), выражение для выходного сигнала можно написать в виде

Найдем среднее значение выходного сигнала:

где

Полученные формулы чувствительности и выражение (VI.44), если их преобразовать по Лапласу, будут полностью совпадать с формулами (VI.24) — (VI.26), приведенными в первом параграфе для случая прохождения через систему неслучайного сигнала. Поэтому для расчета среднего значения как для системы с общей структурой, так и для типовых структурных схем полностью применимы формулы § 1 настоящей главы.

Для вычисления корреляционной функции выходного сигнала найдем случайную составляющую функции определяемую формулой (VI.43). При этом будем использовать только первую функцию чувствительности

На основании формулы (VI.41) имеем

Сравнивая формулы (VI.35) и (VI.46), отметим, что поэтому для определения корреляционной функции выходного сигнала может быть использовано выражение (VI .38).

Определение спектральной плотности производится по формуле (VI.39). Следовательно, справедлив принцип суперпозиции, и поэтому можно отдельно рассматривать прохождение случайной и неслучайной составляющих входного сигнала.