5. РАСЧЕТ ФЛЮКТУАЦИОННОЙ ОШИБКИ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

Если на замкнутую дискретную систему воздействует случайная составляющая полезного сигнала и помеха то спектральная плотность флюктуационной ошибки определяется по формуле

где — передаточная функция системы по сигналу ошибки;

— передаточная функция системы от точки воздействия помехи до выхода;

— спектральная плотность случайной составляющей полезного сигнала;

— спектральная плотность помехи;

— взаимные спектральные плотности помехи и случайной составляющей полезного сигнала.

Для случая, когда сигналы независимы и если эти сигналы воздействуют на входе дискретной следящей системы (рис. XIV. 19), то

где — передаточная функция разомкнутой дискретной системы.

Формула (XIV. 103) при атом примет вид

Соотношения (XIV.103) — (XIV.105) получаются путем таких же рассуждений, которые используются для вывода аналогичных формул в случае непрерывных систем.

Дисперсия флюктуационной случайной ошибки системы равна значению корреляционной функции ошибки при поэтому

Так же как при расчетах непрерывных систем, используя свойства спектральной плотности, можно составить специальные таблицы интегралов вида (XIV.106). С их помощью получают значения флюктуационной ошибки через коэффициенты спектральной плотности ошибки [10].

Другой путь, при котором не требуется составление специальных таблиц интегралов, заключается в переходе к -преобразованию. В этом случае можно пользоваться хорошо известными таблицами из области непрерывных систем [8].

Рис. XIV.19. Кривые для определения флюктуационной ошибки дискретной системы

Подставив в выражение (XIV.106) получим

где — псевдочастота;

— спектральная плотность флюктуационной ошибки, как функции псевдочастоты.

Нетрудно убедиться, что подынтегральное выражение в формуле (XIV. 107) может быть представлено в виде

При этом все нули лежат в верхней полуплоскости. Коэффициенты в общем случае — комплексные величины, и некоторые из них могут обращаться в нуль. Однако следует иметь в виду, что так как для устойчивой системы дисперсия сигнала ошибки конечна, то степень не должна быть меньше степени

Все нули и полюса спектральной плотности дискретного во времени процесса можно разбить на четверки вида При переходе к -преобразованию внутренность единичного круга однозначно отображается на левую полуплоскость Каждый корень переходит соответственно в

Поэтому все комплексные корни также можно разбить на четверки которые расположены попарно симметрично относительно действительной и мнимой оси плоскостк (рис. XIV.20). Так как коэффициенты полиномов числителя и знаменателя действительны, то у функции они также будут действительны. Отсюда следует, что функция равна отношению полиномов с действительными коэффициентами, содержащими только четные степени

Рис. XIV.20. Расположение нулей (полюсов) спектральной плотности дискретного сигнала на z и плоскостях

Поэтому функцию можно записать

причем полюса и нули функции лежат в верхней полуплоскости у. Поэтому нетрудно доказать справедливость формулы (XIV. 108).

Определение квадрата среднего значения ошибки может быть сведено к вычислению интеграла 1 вида

Ошибку вычисляют по одной из следующих формул:

Все операции определения ошибки по формуле (XIV. 112) выполняются графически. Для этого строят кривую, соответствующую функции а затем определяют площадь, которая ограничена этой кривой и осью абсцисс. Необходимые для построения частотные характеристики и спектральные плотности определяются путем суммирования смещенных кривых, соответствующих непрерывной системе и сигналам (см. гл. XIII).

Если помеха воздействует на дискретно-непрерывную во времени систему [для простоты полагаем, что то флюктуационную ошибку согласно соотношениям (XIV.78) и (XIV. 112) определяют графическими построениями в соответствии с формулой

В гл. XIII указывалось на то, что коррекцию дискретных во времени систем удобнее производить с помощью псевдочастотных логарифмических характеристик. Поэтому флюктуационную ошибку также удобнее вычислять по псевдочастотным характеристикам, не перестраивая их в зависимости от частоты.

Если в первой из этих трех формул сделать замену то получим формулу для аналитического определения значений ошибки

Если функция находится путем суммирования смещенных кривых, построенных в зависимости от с последующим переходом к переменной и выполнения коррекции частотных характеристик по этим кривым, то при подсчете флюктуационной ошибки формулу (XIV. 115) следует записать в виде

В последнем выражении в отличие от формулы (XIV. 115) имеется множитель так как

Соотношение (XIV. 116) можно получить заменой в формуле (XIV. 112) или (XIV. 113), если учесть формулу (ХIV. 117).

Пример 3. Определим величину флюктуационной ошибки на выходе замкнутой дискретной во времени системы с помощью заданных графически в зависимости от псевдочастоты логарифмических частотных характеристик разомкнутой системы. На рис. XIV.21 и XIV.22 приведены амплитудная и фазовая характеристики разомкнутой и амплитудные характеристики замкнутой систем соответственно для сек и сек.

Рис. XIV.21. Псевдочастотные логарифмические характеристики разомкнутой и замкнутой дискретной во времени системы для примера 3 при сек: 1 — амплитудная характеристика разомкнутой системы; 2 — фазовая характеристика разомкнутой системы; 3 — амплитудная характеристика замкнутой системы

Рис. XIV.22. Псевдочастотные логарифмические характеристики разомкнутой и замкнутой дискретной во времени системы для примера 3 при сек: 1 — амплитудная характеристика разомкнутой системы; 2 — фазовая характеристика разомкнутой системы; 3 — амплитудная характеристика замкнутой системы

На вход системы подается стационарный случайный дискретный во времени сигнал, который получается дискретной выборкой из непрерывного случайного сигнала, имеющего спектральную плотность

где

Для графического определения величины ошибки необходимо получить графики кривой спектральной плотности дискретного во времени процесса в зависимости от псевдочастоты, которая соответствовала бы спектральной плотности непрерывного процесса, задаваемого формулой (XIV.118). Для этого можно с помощью таблиц z и -преобразований определить -преобразование, соответствующее выражению (XIV.118). При этом необходимо учесть, что спектральная плотность является двусторонним преобразованием Фурье-Лапласа, а в таблицах приведены односторонние преобразования Лапласа (дискретные или непрерывные, соответственно). Заметим, что

прямая замена в формуле (XIV.118) переменной на с помощью соотношения

дает неверный результат, так как при этом не будут учитываться перекрытия смещенных спекторов. Такой метод допускается только при очень малых когда перекрытия спектров не происходит и вместо формулы (XIV.119) можно с достаточной точностью использовать приближенную формулу

Заметим, что только при подстановке формулы (XIV.120) получится дробно-рациональное выражение для спектральной плотности а при подстановке формулы (XIV.119) это выражение будет трансцендентным относительно переменной V.

Рис. XIV.23. Кривые спектральной плотности в зависимости от псевдочастоты для примера секи сек

Другой путь получения графика функции — графическое суммирование смещенных спектров с последующей заменой переменной которая сводится к простому изменению масштаба по оси абсцисс и умножению на в соответствии с формулой (XIV.117). Заметим, что если в формуле (XIV.116) использовать подстановку в виде зависимости (XIV.120) и устремить к нулю, то получим флюктуационную ошибку непрерывной системы

Графики функций приведены на рис. XIV.23 соответственно для .

Величина флюктуационной ошибки определялась путем графического построения в соответствии с формулой

Если в этой формуле получается из с помощью таблиц, т. е. по находится , а затем делается замена то дополнительного множителя — перед не требуется. Если же находится суммированием смещенных спектров, то в соответствии с формулой (XIV.117)

необходимо учесть множитель Функция связана с передаточной функцией разомкнутой системы соотношением

Передаточная функция скорректированной разомкнутой системы может быть записана в виде

где — передаточная функция дискретного (цифрового) корректирующего фильтра;

— передаточная функция нескорректированной разомкнутой системы (неизменяемая часть).

Передаточная функция содержит, как правило, запоминающий элемент нулевого порядка, частотные характеристики которой определяются по заданным графически частотным характеристикам непрерывной части системы путем их суммирования, т. е.

Согласно приведенной формуле вначале строятся несмещенные частотные характеристики с учетом запоминающего элемента

Рис. XIV.24. Кривые подынтегральною выражения для подсчета флюктуационной ошибки при

Затем эти характеристики графически смещаются и суммируются. При уменьшении амплитудная характеристика в дб запоминающего элемента(с учетом ) стремится к нулю:

При таком построении фактически уже учтен множитель который стоит в формуле (XIV. 116).

На рис. XIV.24 приведены графики выражения для случаев сек и сек. После подсчета площади, ограниченной кривыми и осью абсцисс, получаем следующие среднеквадратические значения флюктуационной ошибки:

Рассмотрим влияние на флюктуационную ошибку квантования по амплитуде. В случае, когда удовлетворяется хотя бы

наполовину двумерная теорема квантования, шум квантования в соответствии с формулой (XIV.62) можно принять „белым" шумом со спектральной плотностью

Когда двумерная теорема квантования не удовлетворяется, шум квантования не будет „белым" шумом. При удовлетворении одномерной теоремы квантования наполовину определение спектральной плотности шума квантования производят по формуле (XIV.60) или с помощью кривой рис. XIV. 13. При этом в замкнутой системе квантователь заменяется суммирующим звеном, на которое подается шум квантования (см. рис. XIV.8, б).

Как обычно, при расчете нелинейных систем применяется метод последовательных приближений. На первом шаге квантователь заменяется усилительным звеном с коэффициентом усиления единица и определяется характеристика случайного сигнала на входе квантователя (спектральная плотность, корреляционная функция, дисперсия) по заданным характеристикам входного сигнала системы и ее передаточной функции. После этого определяют характеристики шума квантования и, если это необходимо, ошибку замкнутой системы, вызванную квантованием. Проще всего эту методику проследить на конкретном примере [15]:

Пример 4. Пусть на дискретную во времени и по амплитуде замкнутую систему воздействует дискретный „белый" шум с уровнем (рис. XIV.25, а). Интервал дискретности сек. Передаточная функция непрерывной части системы Необходимо определить спектральную плотность шума квантования. Передаточная функция разомкнутой дискретной системы

передаточная функция по входному сигналу эквивалентной замкнутой системы

передаточная функция по шуму

и, наконец,

Если уровень квантования достаточно мал, так что удовлетворяется многомерная теорема квантования, то шум квантования распределен равномерно в интервале и статистически независим от входного сигнала квантователя. На основании принципа суперпозиции, справедливого для линейной схемы (рис. XIV.25, в), будем рассматривать отдельно только влияние воздействия шума квантования.

Рис. XIV.25. Структурная схема к примеру 4: а — исходная схема; б — эквивалентная дискретная во времени и амплитуде схема; в — эквивалентная дискретная во времени схема

В соответствии с приведенными выше формулами сигнал ошибки и сигнал на выходе системы будут распределены равномерно в интервале Поэтому дисперсия сигнала ошибки из-за шума квантования равна Спектральную плотность сигнала ошибки определим по формуле

или, учитывая, что а также формулу (XIV. 125), получим

Сигнал на входе квантователя имеет нормальный закон распределения вероятности. Это утверждение справедливо по предельной теореме теории вероятности при узкополосном фильтре после квантователя. В соответствии с определением дискретного во времени „белого" шума [см. формулу (XIV.97)]

Итак, рассматривая процесс квантования, отмечаем, что условия одномерной теоремы квантования достаточно хорошо выполняются при

где — среднеквадратическое значение сигнала на входе квантователя, которое связано со среднеквадратическим значением на входе рассматриваемой системы соотношением

Условия достаточно хорошего выполнения одномерной теоремы квантования могут быть записаны в виде . С помощью формулы (XIV.60) нетрудно определить значение корреляционной функции шума квантования при При этом следует использовать значения

В результате для спектральной плотности шума квантования получим выражение

Умножая это выражение на произведение функций получим спектральную плотность сигнала на выходе системы за счет шума квантования в виде

откуда получаем искомое значение дисперсии ошибки за счет квантования, т. е.