11. СИНТЕЗ В СЛУЧАЕ НЕМИНИМАЛЬНО-ФАЗОВЫХ СИСТЕМ

Выше предполагалось, что передаточная функция заданной части системы является минимально-фазовой. Отбросим теперь это предположение и допустим, что функция относится к классу неминимально-фазовых, т. е. имеет нули, расположенные в правой полуплоскости. Рассматривая выражение для передаточной функции замкнутой системы

отметим, что если функция неминимально-фазовая, то функция также неминимально-фазовая. Отсюда следует, что применявшийся выше подход к решению задачи синтеза, основанный на определении оптимальной передаточной функции и последующем учете передаточной функции заданной части при помощи формулы (VII. 193) в этом случае не применим [9].

Рис. VII.22. Расчетная схема системы

Рис. VII.23. Синтез системы с неминимально-фазовой заданной частью

Действительно, оптимальная передаточная функция всегда получается в классе устойчивых минимально-фазовых систем, а в исследуемом случае при учете свойств заданной части она должна быть неминимально-фазовой. Теоретически эту трудность можно обойти, введя в знаменатель передаточной функции корректирующего устройства полюса компенсирующие нули функции расположенные в правой полуплоскости. Однако использование структурно-неустойчивых корректирующих устройств в ряде случаев является нежелательным. Поэтому при решении задачи синтеза в случае неминимально-фазовой заданной части необходимо уже с самого начала учитывать приведенное выше свойство. Для этого воспользуемся схемой, показанной на рис. VI 1.22, состоящей из последовательно соединенных эквивалентного элемента [формула (VII. 192)] и заданной неминимально-фазовой части с известной передаточной функцией

Сформулируем задачу синтеза в следующем виде. Необходимо найти оптимальную импульсную переходную функцию не всей системы в целом, а лишь ее эквивалентного элемента [или соответствующую передаточную функцию как обычно, в классе минимально-фазовых систем так, чтобы обеспечить

минимальную среднеквадратическую ошибку на выходе всей системы Для решения этой задачи составим эквивалентную структурную схему, показанную на рис. VI 1.23. На схеме передаточная функция является заданной.

Тогда ошибка определяется по формуле

Потребуем, чтобы

и далее, учитывая, что является полиномом степени последнее соотношение можно переписать в виде

Рассматривая выражение (VI 1.209) как тождество, получим условий, ограничивающих импульсную переходную функцию т. е.

причем постоянные можно Найти путем решения следующей системы уравнений:

С учетом ограничений (VII.211) выражение для ошибки примет вид

и, следовательно,

Решая вариационную задачу, получим интегральное уравнение относительно функции обеспечивающей минимум среднеквадратической ошибки:

где

Если корреляционной функции соответствует спектральная плотность которая представляет собой дробно-рациональную функцию, то решение интегрального уравнения (VI 1.214) имеет вид

Далее рассмотрим в качестве примера определение передаточной функции корректирующего устройства

Предположим, что

и

тогда

Пользуясь выражениями (VII.215), получим

и

Таким образом, спектральная плотность равна

и поэтому

Формула (VII.216) для рассматриваемого случая принимает вид

где

Для определения и подставим в интегральное уравнение (VII.214), из которого получим

Рассматривая последнее равенство как тождество, получим следующие уравнения:

и

позволяющие найти неизвестные т. е.

Итак,

Передаточная функция соответствующая импульсной переходной функции определяется формулой

а оптимальная передаточная функция всей системы будет

Передаточная функция эквивалентного элемента является, как это и должно быть, минимально-фазовой, а передаточная функция всей системы — неминимально-фазовой.

Далее заметим, что оптимальная передаточная функция всей системы при неминимально-фазовой заданной части, в отличие от ранее рассмотренных случаев, в явной форме зависит от передаточной функции , следовательно, последняя накладывает определенные ограничения на величину минимальной среднеквадратической ошибки.

Зная функцию определим передаточную функцию корректирующего устройства:

На этом решение задачи синтеза неминимально-фазовой системы при принятых допущениях заканчивается.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)