1. КОРРЕКТНОСТЬ УРАВНЕНИЙ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ И СЛОЖНОСТЬ ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Если при проектировании мы располагаем только приближенными оценками спектральных плотностей или решение интегрального уравнения может быть получено только численными методами, то возникает вопрос об устойчивости приближенного решения интегральных уравнений 1-го рода, полученных в предыдущей главе относительно ошибок исходных данных и устойчивости численных алгоритмов. Устойчивость решения понимается таким образом, чтобы малые ошибки в исходных данных вызывали малые ошибки результатов расчета. Задача считается поставленной корректно, если решение ее существует, единственно и устойчиво относительно малых вариаций исходных данных.

Можно показать, что интегральные уравнения первого рода в указанном смысле некорректны. Для решения некорректных задач А. Н. Тихоновым были разработаны методы регуляризации [7], Применительно к задачам статистической динамики метод регуляризации заключается в следующем. Пусть мы имеем некоторый допустимый уровень среднеквадратической ошибки больший минимально достижимого для оптимальных систем, а также некоторый функционал определенный для рассматриваемого класса импульсных переходных функций.

Рассмотрим вариационную задачу на условный экстремум, когда требуется найти функцию минимизирующую функционал и обеспечивающую заданный допустимый уровень ошибки Такая задача сводится к минимизации функционала

где — множитель Лагранжа.

Если вариационная задача минимизации функционала оказывается корректной, то функционал называют регуляризующим, а сама задача называется регуляризацией исходной вариационной задачи. Для того чтобы функционал был регуляризующим, достаточно, чтобы множество импульсных переходных функций, для которых при любом конечном а было компактным, а оператор Эйлера для функционала был бы вполне непрерывным оператором [7].

Регуляризующими функционалами для задач статистической динамики являются функционалы вида

где — некоторый дифференциальный оператор;

— конечное число или бесконечность.

В частности, если регуляризующий функционал будет иметь вид

Используя регуляризующий функционал (VIII.3) и применяя метод регуляризации, мы получим в качестве условий оптимальности интегральные уравнения не рода.

Покажем, каким образом может производиться регуляризация на примере задачи Винера. Для этого предположим, что при заданных корреляционных функциях и преобразующем операторе минимальная среднеквадратическая ошибка равна Далее зададимся некоторой ошибкой причем

Требуется найти импульсную переходную функцию обеспечивающую минимум функционала:

при следующем ограничении

Такого рода импульсную переходную функцию мы будем называть желаемой в отличие от оптимальной, обеспечивающей

Запишем выражение для ошибки полезного сигнала в виде

Тогда из выражения (VIII.6) найдем значение среднеквадратической ошибки

Для решения поставленной задачи составим функционал

где — неопределенный множитель Лагранжа.

Придавая, как обычно, импульсной переходной функции вариацию получим интегральное уравнение, представляющее собой необходимое и достаточное условие для минимума интеграла (VIII.4) при ограничивающем условии (VIII.5), т. е.

Интегральное уравнение (VIII.9) является интегральным уравнением рода.

Если корреляционной функции

соответствует дробно-рациональная спектральная плотность

то решение интегрального уравнения имеет вид

где корни характеристического уравнения

Произвольные постоянные определяются подстановкой выражения (VIII. 17) в интегральное уравнение (VIII.9). В результате получаем к уравнений для определения коэффициентов которые являются функциями неопределенного множителя Лагранжа X. Для определения значения X подставляем импульсную переходную функцию (VIII. 12) в ограничивающее условие (VIII.5).

Если исходные данные в виде корреляционных функций или спектральных плотностей заданы неточно, то решение уравнения 2-го рода будет иметь ошибку того же порядка. Численные методы решения уравнения (VIII.9) устойчивы относительно ошибок исходных данных.

Регуляризация задач статистической динамики целесообразна не только в вычислительном отношении, но также и потому, что она уменьшает сложность реализации оптимальных систем [6], [9]. Действительно, минимизация регуляризующего функционала эквивалентна сужению множества т. е. множества тех для которых . Определим функционал т. е. минимально необходимую стоимость физической реализации фильтра, задаваемого импульсной переходной функцией Характеристика сложности физической реализации фильтра, задаваемого импульсной переходной функцией принадлежащей множеству может служить число

При этом очевидно, что

если

Из последнего выражения видно, что регуляризация уменьшает максимально возможную стоимость физической реализации оптимального фильтра. Так как выражение (VIII.9) является уравнением рода, не имеющим в своем составе -функций, то и импульсная переходная функция определяемая выражением (VIII. 12), в отличие от решения обычной задачи Винера не будет содержать в своем составе -функций.

Рассмотрим теперь связь регуляризации задач статистической динамики с минимизацией полосы пропускания оптимальных фильтров. Синтез системы с минимальной полосой пропускания [6], [9] сводится к минимизации среднеквадратического значения сигнала на выходе фильтра при заданном уровне ошибки преобразования сигнала в желаемый сигнал

Среднеквадратическое значение сигнала на выходе фильтра, имеющего характеристику дифференциатора порядка в случае источника белого шума, определяется следующим функционалом от импульсной переходной функции системы:

Но как было отмечено выше, такой функционал является регуляризующим для задач статистической динамики. Таким образом, регуляризация задач статистической динамики эквивалентна минимизации полосы пропускания, что, естественно, приводит к упрощению задачи физической реализации оптимальной системы.