8. СИНТЕЗ ПРИ ДЕТЕРМИНИРОВАННОМ И СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ, ПРИЛОЖЕННЫХ К ОДНОЙ ТОЧКЕ

Ниже рассматривается случай, когда воздействие на входе системы состоит из трех составляющих: составляющей полезного сигнала, заданной своим аналитическим выражением; случайной составляющей полезного сигнала и помехи представляющих собой стационарные случайные функции времени.

Все воздействия предполагаются равными нулю, причем решение ищется в классе систем с конечной памятью, т. е. время переходного процесса является конечной заданной величиной.

Предполагается, что функция представляет собой полином от т. е. что

В зависимости от информации об этой составляющей рассмотрим следующие три случая:

о коэффициентах ничего неизвестно [1];

коэффициенты заданы [1] — [41;

коэффициенты случайны и известна матрица

корреляционных моментов связи случайных величин

В первом случае мы не располагаем информацией о коэффициентах и при расчете оптимальной системы будем требовать выполнения так называемого условия несмещенности среднеквадратической ошибки, т. е. равенства нулю ошибки воспроизведения или преобразования, составляющей полезного сигнала в виде полинома от

Во втором случае предполагается, что функция (VII. 151) пред ставляет собой совершенно определенную заданную функцию времени, характеризующую, например, наиболее неблагоприятные

или типичные условия работы системы, причем допускается, неточное ее воспроизведение с погрешностью, определяемой выбранными значениями коэффициентов ошибки.

В третьем случае мы располагаем информацией более полной, чем в первом, и менее полной, чем во втором случаях. При этом задача решается, исходя из условия несмещенности среднеквадратической ошибки.

Рис. VII. 17. Структурная схема, поясняющая постановку задачи синтеза

Уточним постановку задачи (рис. VII. 17) и дадим метод ее решения для каждого из рассмотренных выше случаев.

1-й случай. Коэффициенты неизвестны (задача Заде и Рагацини).

Ошибку преобразования управляющего воздействия или полезного сигнала

можно представить в виде двух составляющих: неслучайной (или, как принято называть, динамической)

и случайной (статистической)

Потребуем, чтобы неслучайная ошибка тождественно равнялась нулю:

тогда, разлагая функцию в ряд

и учитывая выражение (VII. 155), получим

Тождество (VII. 157) определяет значения первых моментов оптимальной импульсной переходной функции через преобразующий оператор Поэтому в дальнейшем будем считать эти моменты, определяемые выражением (VII. 157), заданными величинами.

Таким образом, условие (VI 1.156) накладывает ограничивающих условий на импульсную переходную функцию Так, например, если

то мы должны иметь

где

Точно так же, если

то, имея в виду тождество (VI 1.156), получим

и, следовательно,

Итак, по заданным корреляционным функциям стационарной случайной составляющей полезного сигнала и стационарной помехи [для простоты принимается, что взаимная корреляция между отсутствует] требуется

найти импульсную переходную функцию удовлетворяющую условиям

При этом среднее значение квадрата случайной ошибки должно иметь минимальное значение, совместимое с условием равенства нулю динамической ошибки преобразования составляющей полезного сигнала в соответствии с законом преобразования

Пользуясь результатами, найденными в § 4 для общего случая, т. е. полагая в выражении получим следующее выражение для среднеквадратической ошибки:

Интегральное уравнение (VII.71) в рассматриваемом частном случае примет вид

Решение интегрального уравнения (VI 1.164) относительно согласно выражению (VI 1.83) записывается в виде

или

где — порядок многочлена от в виде которого задана составляющая полезного сигнала;

постоянные, подлежащие определению;

— числитель выражения для спектральной плотности — знаменатель выражения для спектральной плотности

— степень старшего члена

— степень старшего члена

— корни уравнения

сомножитель знаменателя выражения для содержащий все нули (относительно ) в верхней полуплоскости;

— спектральная плотность случайной составляющей полезного сигнала;

— идеальный преобразующий оператор.

Порядок операций для определения функции на основе формулы (VI 1.165) или (VI 1.166) состоит в следующем. Подставляем выражение для составленное по формуле (VII.165), в интегральное уравнение (VII. 164).

Получившееся выражение рассматриваем как тождество. В результате будем иметь однородных линейных уравнений относительно неизвестных постоянных.

Далее выражение для подставляем в формулу (VII.157), откуда получаем линейных уравнений относительно неизвестных постоянных. Величины определяются, если известен преобразующий оператор при помощи равенства (VII.156).

Систему из уравнений относительно такого же числа неизвестных получим из выражений (VII. 164) [21 уравнений] и из (VII.156) уравнений]. Решением этих уравнений и подстановкой полученных значений для постоянных в исходное выражение (VII. 165) для или в уравнение (VII.166) заканчивается определение импульсной переходной функции.

Выражение для оптимальной передаточной функции , очевидно, можно найти, подставив в формулу

В результате получим

2-й случай. Значения коэффициентов заданы [3].

Выражение (VI 1.165) для импульсной переходной функции было получено исходя из требования равенства нулю неслучайной ошибки Однако, как это уже указывалось во введении, нулевая динамическая ошибка может быть, вообще говоря, получена лишь за счет увеличения случайной ошибки что не всегда выгодно и допустимо. Кроме того, если управляющее воздействие имеет вид полинома степени то, как это ясно из определения астатической следящей системы, нулевая ошибка может быть получена, лишь если система обладает астатизмом порядка. Создание таких систем связано с большими практическими трудностями уже при Наконец такая постановка задачи не позволяет учитывать и вводить при расчете требования к точности в том случае, когда составляющая полезного сигнала выбирается в виде заданной функции времени (например, в виде полинома от с известными коэффициентами).

Если динамическую точность воспроизведения неслучайной составляющей полезного сигнала можно охарактеризовать заданными значениями коэффициентов ошибки, то указанные выше трудности отпадают. В этом случае уже не требуется, чтобы динамическая ошибка равнялась нулю, и сложность реализации такой системы уменьшается, так как она не должна обладать астатизмом порядка. При этом, если расчет системы желательно произвести для типового управляющего воздействия в виде полинома (VII. 151) с небольшим числом членов и известными коэффициентами, то задание коэффициентов ошибки определяет динамическую точность системы. Рассмотрим приведенное положение более подробно. Предположим, что воздействие вида (VI 1.151) с известными коэффициентами характеризует типовые или наиболее неблагоприятные условия работы системы, причем в этих условиях динамическая ошибка не должна превышать некоторого наперед заданного значения т. е.

Для ошибки мы можем написать

Зная можно выбрать значения коэффициентов ошибки так, чтобы обеспечить удовлетворение неравенства (VII.168). Именно в этом смысле задание коэффициентов ошибки определяет динамическую точность воспроизведения системой заданной детерминированной составляющей полезного сигнала.

Предположим, что сигнал на выходе идеальной системы

где

После сделанных предварительных замечаний задачу синтеза можно сформулировать следующим образом.

По заданным корреляционным функциям времени и коэффициентам ошибки необходимо найти импульсную переходную функцию так, чтобы среднее значение квадрата случайной ошибки имело минимум.

Другими словами, задача сводится к определению функции, обращающей величину в минимум и одновременно удовлетворяющей дополнительным условиям, которые вытекают из выражений (VII.169) и (VII.170). Так, например, в случае задачи воспроизведения сигнала, когда эти условия имеют вид

Таким образом, формально мы приходим к той же задаче на условный экстремум, которая уже была разобрана выше. Отличие состоит лишь в способе выбора ограничивающих условий, налагаемых на искомую функцию

Рассмотрим пример применения формулы (VII.165) для определения оптимальной функции Пусть управляющий сигнал имеет вид а помеха может быть представлена корреляционной функцией

Предположим также, что

тогда и

Следовательно, на основании формулы (VII. 165) можно записать

Подставив в интегральное уравнение (VII.164), получим

Рассматривая последнее уравнение как тождество, находим два уравнения для определения неизвестных

Подставляя выражение (VII.173) в условия (VII.172), получим еще два алгебраических уравнения:

Далее, решая системы уравнений (VII.174), (VII.175), находим

Подставив значения в выражение (VII.165), получим оптимальную импульсную переходную функцию к

В случае решения задачи дифференцирования [если предположить, что изменятся лишь уравнения, получаемы из условий (VII.). Эти уравнения имеют следующий вид:

Решая системы уравнений (VII.174), (VII. 176), найдем т. е.

Подставляя найденные значения в уравнение (VII.165), получим оптимальную импульсную переходную функцию

Предположим теперь, что . В этом случае уравнения, получаемые из ограничивающих условий (VII.169), примут вид

Решение системы уравнений (VII. 174), (VII.177) относительно приводит к следующим соотношениям:

Наконец в случае задачи упреждения имеем

где — время упреждения.

Уравнения, получаемые из ранее приведенных ограничивающих условий, имеют следующий вид:

Остальные уравнения останутся прежними.

3-й случай. Коэффициенты случайные [7].

Для простоты предположим, что корреляция между отсутствует, т. е.

(кликните для просмотра скана)

При этом отметим, что интегральные уравнения (VI 1.164), (VI 1.182) имеют один и тот же вид.

Следовательно, решение интегрального уравнения (VII. 182) относительно можно представить в виде формулы (VII. 165). Неизвестные постоянные, входящие в выражение (VII. 165), определяются подстановкой (VI 1.165) в уравнения (VII.182) и (VII.183).