8. КОРРЕКЦИЯ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

Для коррекции сложных дискретных систем так же, как и непрерывных систем, наиболее удобным является метод, логарифмических частотных характеристик. Если интервал дискретности мал, то можно, заменив ключ и запоминающий элемент нулевого

порядка звеном с передаточной функцией свести дискретную систему к непрерывной, которую рассчитывают методами, применяемыми в теории непрерывных систем (рис. XIII.31). Однако при большом интервале дискретности необходимо использовать методы смещенных логарифмических характеристик.

Построение характеристик производится изложенным выше способом с использованием специальных шаблонов. С помощью корректирующих фильтров добиваются необходимых запасов устойчивости. Чаще всего стремятся получить 8—10 дб запас устойчивости по амплитуде и 30—40° по фазе. Для коррекции применяют непрерывные и дискретные фильтры.

Рис. XIII.31. Преобразование дискретной системы с запоминающим элементом к непрерывной системе

Коррекция с помощью непрерывного фильтра не позволяет использовать преимущества-логарифмических характеристик, так как результирующие логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы не получаются простым суммированием характеристик неизменяемой части и корректирующего фильтра. Приходится угадывать необходимую передаточную функцию соответствующего корректирующего фильтра, затем делать построение, которое включает смещение характеристик, после чего уже можно оценить запас устойчивости и показатели качества системы с выбранным фильтром. Если эти показатели неудовлетворительные, то выбирается второй вариант фильтра и вся процедура построения повторяется.

На рис. XII 1.32 приведены скорректированные частотные характеристики дискретной системы, рассмотренной в примере 2. Для коррекции использовался фильтр с передаточной функцией

Если в системе используется для коррекции цифровая вычислительная машина (рис. XIII.33) и интервал выдачи данных с машины много меньше основного интервала дискретности, то можно считать, что применяется непрерывная коррекция. Передаточная функция корректирующего фильтра определяется по изложенной выше методике. Для определения по найденной передаточной функции соответствующей программы цифровой машины производят замену переменной приближенным выражением, зависящим от z. В простейшем случае оператор дифференцирования можно заменить оператором дифференцирования в дискретном случае Однако более точной заменой в таких случаях является так называемые -формы Если интервал выдачи данных с машины соизмерим с основным интервалом дискретности и отличен от него, то для определения параметров корректирующего фильтра необходимо применять методику расчета дискретных систем с двумя интервалами дискретности [4].

Когда интервал выдачи данных с цифровой вычислительной машины совпадает с основным интервалом дискретности (рис. XIII.33), то необходимо определять передаточную функцию корректирующего устройства как дискретного фильтра.

Рис. XIII.32. Частотные характеристики скорректированной дискретной системы: I — амплитудная и 2 — фазовая частотные характеристики для передаточной функции ; 3 — амплитудная и 4 — фазовая частотные характеристики для передаточной функции

Рис. XIII.33. Структурная схема дискретной системы с дискретным корректирующим фильтром

При этом построение выполняют следующим образом. Первоначально по изложенному выше методу строят логарифмические частотные характеристики дискретности неизменяемой части

по известным логарифмическим частотным характеристикам непрерывной неизменяемой части

Построение производят по одному из двух вариантов. В первом случае стараются подобрать передаточную функцию корректирующего фильтра как функцию . При этом необходимо иметь большое количество частотных характеристик корректирующего фильтра при разных видах передаточной функции и разных значениях ее параметров. Этих характеристик даже при неизменном виде передаточной функции получается чрезвычайно большое количество, так как передаточная функция является дробно-рациональной функцией переменной и трансцендентной функцией переменной . Поэтому при построении характеристик в логарифмическом масштабе в зависимости от со нельзя использовать асимптотические свойства логарифмических частотных характеристик, как в непрерывных системах.

Построение логарифмических частотных характеристик в зависимости от переменной невозможно, так как эта переменная является комплексной величиной. Для использования положительных свойств логарифмических частотных характеристик целесообразно перейти к другой переменной

С переходом от переменной к переменной левая половина плоскости комплексного переменного отображалась в круг единичного радиуса на плоскости переменного а мнимая ось — в окружности единичного радиуса

Для восстановления асимптотических свойств логарифмических частотных характеристик необходимо снова отобразить единичный круг в плоскости z на левую полуплоскость, сохранив при этом дробно-рациональный вид передаточной функции корректирующего фильтра. Такое преобразование выполняют с переходом к -преобразованию с помощью формулы (XIII.70). В соответствии с этой формулой окружность единичного радиуса в плоскости переменного z преобразуется в мнимую ось в плоскости переменного (рис. XII 1.34). При изменении от до окружность единичного радиуса в плоскости z обходится один раз. Поэтому можно утверждать, что каждый участок мнимой оси частот от до в плоскости переменного отображается в мнимую ось от до в плоскости в соответствии с формулой

Последняя формула получается из соотношения (XIII.70), если положить Параметр называется

псевдочастотой и связан с обычной круговой частотой формулой (XIII.71).

Нетрудно убедиться, что при малом когда дискретная система близка к непрерывной системе,

Поэтому при втором способе определения передаточной функции корректирующего фильтра используют логарифмические псевдочастотные характеристики.

Рис. XI 11.34. Преобразования плоскостей комплексного переменного при переходах от преобразования Лапласа к -преобразованиям

После того как построены логарифмические частотные характеристики дискретной неизменяемой части системы в зависимости от частоты они перестраиваются, как функции псевдочастоты путем изменения масштаба по оси частот в соответствии с формулой (XIII.71). После этого, используя известные из практики коррекции непрерывных систем приемы, подбирается с помощью графических построений передаточная функция корректирующего устройства которая обеспечивает необходимое качество системы (запасы устойчивости, ошибки и пр.), а затем, перейдя к плоскости определяется непрерывное корректирующее устройство. Если корректирующее устройство реализуется в виде программы на то программа цифровой машины определяется по известной функции заменой на z [см. формулу (XIII.70)].

На рис. XIII.35 изображены логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы без дискретного корректирующего фильтра и с фильтром для системы, структурная схема которой приведена на рис. XIII.33. В качестве неизменяемой

части используется фильтр, рассматриваемый в примере 2 с передаточной функцией

Для обеспечения необходимых запасов устойчивости следует поставить фильтр с передаточной функцией

Переходя к z-преобразованию, получим

отсюда, учитывая, что

получим следующее разностное уравнение:

Рис. XIII.35. Частотные характеристики дискретной системы с дискретным корректирующим фильтром: 1 — амплитудная и 2 — фазовая частотные характеристики для передаточной функции ; 3 — амплитудная и 4 — фазовая частотные характеристики для передаточной функции

В соответствии с этим уравнением следует составить программу цифровой вычислительной машины.