2. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Трудности математического описания и экспериментального изучения случайных процессов, на которые не наложено никаких ограничивающих предположений, очевидны. Поэтому обычно рассматриваются те или иные виды случайных процессов, удовлетворяющих определенным допущениям. Среди таких процессов значительное внимание уделялось так называемым процессам Маркова. Отличительная особенность процессов Маркова состоит в том, что в каждый данный момент времени дальнейший ход такого процесса обусловливается только состоянием его в этот момент и не зависит от характера течения процесса в предшествовавший период. Таким образом, для такого рода процессов наше суждение о будущем нисколько не меняется в случае возможного расширения наших знаний относительно предшествовавшего течения событий. Процессы такого рода сравнительно легко поддаются математической обработке и в то же время встречаются во многих приложениях.

Однако значительно более многочисленными являются такие физические и технические явления, при которых предыдущее течение процесса имеет существенное значение для суждения о его дальнейшем развитии и не может быть опущено даже и при приближенной трактовке вопроса. Так, например, если бы мы стали рассматривать движение самолета в пространстве как процесс Маркова, то это означало бы, что мы не принимаем в расчет его инерции.

Среди случайных процессов, в которых предыдущее течение событий в существенной мере определяет собой те заключения, которые мы можем сделать о будущем, нужно в первую очередь выделить стационарные случайные процессы. Основательное изучение этих процессов, без сомнения, должно быть положено в основу всякого более общего исследования в этой области.

Понятие стационарного случайного процесса относится к тем применениям, когда статистические свойства системы, в которой протекает случайный процесс, остаются неизменными во времени. В этом случае вид функций распределения вероятности не зависит от смещения начала отсчета вдоль оси времени.

Более точное определение стационарного случайного процесса может быть сформулировано следующим образом

Случайный процесс, определяемый совокупностью переменных называется стационарным в том случае, если законы распределения вероятности двух групп значений этих переменных

тождественны друг другу, причем число моменты времени промежуток могут, быть выбраны совершенно произвольно.

Другими словами, стохастический процесс называется стационарным, если его статистические свойства не зависят от начала отсчета во времени. Это означает, что два процесса имеют одинаковые статистические свойства для любого .

В случае стационарных случайных процессов математическое ожидание постоянно, т. е.

а центрированная корреляционная функция зависит лишь от разности аргументов . Итак,

В дальнейшем будут рассматриваться лишь те свойства стационарных случайных функций, которые определяются постоянной и функцией одного переменного т.

При таком подходе к изучению стационарных случайных процессов, когда моменты высоких порядков не вводятся в рассмотрение, можно дать следующее определение стационарности: случайная функция называется стационарной, если ее математическое ожидание постоянно, а корреляционная функция зависит только от одной переменной Такая стационарность называется стационарностью в широком смысле в отличие от стационарности в узком смысле, рассмотренной выше.

Если случайная функция не удовлетворяет условию стационарности, то она называется нестационарной случайной функцией.