7. СВЯЗЬ МЕЖДУ КОРРЕЛЯЦИОННЫМИ ФУНКЦИЯМИ И СПЕКТРАЛЬНЫМИ ПЛОТНОСТЯМИ ВЕЛИЧИН НА ВХОДЕ И НА ВЫХОДЕ ЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Рассмотрим линейную динамическую систему (рис. 1.18), имеющую импульсную переходную функцию и передаточную функцию Предположим, что на вход этой системы подан стационарный случайный сигнал имеющий корреляционную функцию и спектральную плотность Найдем среднее значение и корреляционную функцию величины на выходе. Имеем

Рис. 1.18. Линейная динамическая система

Прежде чем определять корреляционную функцию величины на выходе, найдем взаимную корреляционную функцию между выходом и входом

Умножая обе части выражения (1.115) на получим

и, следовательно,

Далее, умножая обе части выражения (1.115) на найдем

и, следовательно,

Подставляя выражение (1.117) в формулу (1.118), получим

Этой формуле можно дать простую интерпретацию при помощи схемы, показанной на рис. 1.19. Подадим на вход первого элемента с импульсной переходной функцией сигнал Тогда на выходе мы получим сигнал Сигнал создаст на выходе второго элемента, имеющего импульсную переходную функцию сигнал

Если сигнал на входе линейной системы с постоянными параметрами стационарен, то на выходе он также стационарен (как в широком, так и в узком смыслах).

Рис. 1.19. Графическая интерпретация формулы

Рис. 1.20. Статистический метод экспериментального определения импульсной переходной функции

Предположим, что входной сигнал является белым шумом, тогда Пользуясь выражением (1.117), можем написать

Формула (1.120) показывает, что если на вход системы подавать белый шум, то взаимная корреляционная функция между входом и выходом равна импульсной переходной функции системы (рис. 1.20).

Найдем теперь соотношение между спектральными плотностями входного и выходного сигналов линейной системы, имеющей передаточную функцию Взяв преобразование Фурье от выражений (1.117) и (1.118), получим

и

Подставляя выражение (1.121) в формулу (1.122), найдем

Полученное выражение подставим в формулу (1.82), откуда найдем

Последняя формула позволяет определить корреляционную функцию величины на выходе по заданной спектральной плотности величины на входе.

Проиллюстрируем применение формулы (1.124) для вычисления корреляционных функций некоторых фильтров, на вход которых подается белый шум со спектральной плотностью

Рис. 1.21. Идеальная система и корреляционная функция на ее выходе

Рис. 1.22. Фильтр низких частот

В случае идеальной системы с неограниченной полосой пропускания (рис. 1.21, а) корреляционная функция сигнала имеет вид дельта-функции (рис. 1.21, б).

Рис. 1.23. Корреляционная функция сигнала на выходе фильтра низких частот

Рис. 1.24. Узкополосный фильтр высоких частот

Фильтр низких частот. Пользуясь формулой (1.124) и учитывая вид амплитудной частотной характеристики фильтра низких частот (рис. 1.22), найдем

Корреляционная функция (1.125) приведена на рис. 1.23.

Узкополосный фильтр высоких частот. Для узкополосного фильтра, амплитудная частотная характеристика которого изображена на рис. 1.24, можно написать

Корреляционная функция (1.126) изображена на рис. 1.25.

Рис. 1.25. Корреляционная функция сигнала на выходе узкополосного фильтра

Широкополосный фильтр высоких частот. Для широкополосного фильтра высоких частот (рис. 1.26) имеем

Корреляционная функция (1.127) показана на рис. 1.127.

Рис. 1.26. Широкополосный фильтр

Рис. 1.27. Корреляционная функция