2. ТОЧНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ С АМПЛИТУДНОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ

Вернемся к функциональному уравнению (XI 1.8) с периодическими коэффициентами, описывающему динамику простейшей следящей системы на переменном токе без корректирующих средств в тракте несущей частоты. Для определения решения этого уравнения подставим вместо последовательно тогда получим бесконечную систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных а именно

Существенно отметить, что практически получение точного решения системы уравнений (XI 1.11) не представляет значительного интереса, так как рассматриваемый класс следящих систем при правильном проектировании всегда соответствует фильтру нижних частот. В работе [15] показано, что если есть преобразование Лапласа входного воздействия ограниченного в области то линейное функциональное уравнение (XI 1.11) имеет в области единственное ограниченное решение. Это решение получается из системы уравнений (XII. 11) методом редукции, т. е.

где — решение усеченной системы с уравнениями;

Конечная система уравнений (XII. 12) имеет в области единственное решение, если определитель системы уравнений (XII. 12) . По правилу Крамера это решение имеет вид

где — алгебраические дополнения к элементам начальной вертикали определителя

Так как при сходится равномерно в области можно представить в виде

где

Итак, решение уравнения (XII. 11) в области можно представить в виде равномерно и абсолютно сходящегося ряда

Бесконечная система уравнений (XII. 11) в данном случае распадается на две независимые системы. При этом только одна из них определяет поведение следящей системы в динамике. Согласно уравнению (XI 1.6) процесс протекает следующим образом. Положим где — частота модуляции. Тогда согласно уравнению (XI 1.6) имеем

Из-за действия основной отрицательной обратной связи на вход модулятора следящей системы подводится ослабленная составляющая где — коэффициент ослабления. В результате на выходе модулятора возникает сигнал, равный

Далее ослабленная четвертая гармоника несущей частоты сос подается вновь на вход модулятора, на выходе появляются вторая и шестая гармоники и т.д., и в системе возникает бесконечное число четных амплитудно-модулированных гармоник. Аналогичные решения отыскивается с помощью уравнения (XII. 14) для всех составляющих ошибок слежения четных амплитудно-модулированных гармоник. Суммарная ошибка слежения на входе модулятора (см. рис. XII.2) равна

Найдем решение для рассматриваемой следящей системы при т. е. сведем задачу к решению трех уравнений,

соответствующих Согласно уравнению (XII. 11) эта система уравнений имеет следующий вид:

Определитель приведенной системы уравнений будет иметь вид

Соответственно алгебраические дополнения к элементам начальной вертикали определителя имеют вид

и

откуда

Решение системы уравнений (XI. 16) относительно ошибок слежения определяется следующим выражением:

где

и

Отсюда суммарная ошибка слежения согласно уравнению (XII.15) будет

Решение функционального уравнения с периодическими коэффициентами (XII. 10) для общего случая находится путем замены на и получения бесконечной системы алгебраических уравнений относительно Последняя может быть заменена затем усеченной системой уравнений при , для которой решение может быть получено методом, аналогичным изложенному выше. Для усеченной системы уравнений также можно вычислить определитель алгебраические дополнения к элементам начальной вертикали определителя и функции