2. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ОРГАНИЗАЦИИ ПАССИВНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

Качество найденной статической математической модели, которое определяет возможность ее дальнейшего использования для целей управления объектом, в значительной мере зависит от организации и методики сбора экспериментальных данных.

Существенным вопросом, выходящим, однако, за рамки данной главы, является определение наиболее сильно влияющих параметров, так как учет одновременно всех параметров, поддающихся измерению, практически нецелесообразен. Для решения этой задачи могут быть использованы методы ранговой корреляции [1], позволяющие объективно оценить субъективные оценки специалистов, а также отсеивающие эксперименты, аналогичные методу случайного баланса [2].

Наблюдения по переменным должны быть стохастически независимы. Если исследуемые переменные представляют собой непрерывные стационарные случайные процессы, то время между соседними замерами по каждой переменной необходимо выбирать не меньше, чем время затухания ее автокорреляционной функции. Переменные должны быть по возможности мало связаны между собой, т. е. изменяться практически независимо друг от друга.

Общее количество опытов должно быть больше, чем число определяемых коэффициентов уравнения. Желательно, чтобы число наблюдений в 10 — 30 раз превосходило число определяемых коэффициентов. Погрешность измерения каждого параметра должна быть пренебрежимо мала по сравнению с диапазоном его изменения на интервале наблюдения.

Особое значение при отыскании статической модели имеет учет динамических характеристик объекта. Неучтенная динамика

объекта вносит существенную погрешность и вызывает дополнительные ошибки при использовании математической модели. Эти ошибки могут быть столь велики, что применение полученных уравнений окажется бессмысленным. Необходимо при планировании пассивного эксперимента тем или иным способом учитывать и динамические характеристики объекта. Практически наиболее целесообразна (но не всегда допустима) замена реального динамического объекта объектом с чистым запаздыванием, имеющим время запаздывания тэкв. В этом случае учет динамики сводится к разделению моментов регистрации данных на входе и выходе объекта временным интервалом

Рис. II.2. Эквивалентное представление динамического звена

Рассмотрим одноканальный объект, представляющий собой динамическое звено. На входе объекта действует нормальный случайный стационарный процесс со средним значением, равным нулю. Статическая характеристика объекта в установившемся режиме имеет вид Будем фиксировать значения через интервал после измерения и каждую пару значений изобразим на плоскости в виде точки. Поскольку объект динамический, каждое значение выходного параметра определяется как мгновенный значением переменной х в момент так и его значениями во все предшествующие моменты времени. Одному и тому же значению зафиксированному в разное время, может соответствовать множество значений Е. Точки расположатся не по прямой , а с некоторым рассеянием, как это показано на рис. II. 1 а. Другими словами, влияние динамики объекта подобно действию неучтенных возмущающих переменных, а эквивалентная замена равносильна замене динамического объекта безынерционным с добавлением некоторого эквивалентного шума (рис. II. 2.) Проведя через точки прямую будем искать, как прежде, параметр методом наименьших квадратов:

Значение определяется из условия

После дифференцирования и преобразований получаем

Теперь перейдем к оценке погрешности, которую вносит эквивалентный шум . Эту погрешность характеризует величина остаточной дисперсии:

Подставим выражение (11.25) в формулу (11.26) и определим оптимальное значение , при котором величина минимальна. Для этого воспользуемся соотношением

Примем во внимание соотношения

где — взаимокорреляционная функция процессов Е и х, определяемая по эмпирическим данным.

После преобразований и упрощений вместо выражения получим

Из последнего соотношения вытекают два уравнения для определения значения при котором и

Уравнение (II. 30) соответствует случаю, когда ошибка аост максимальна, так как при выполнении условий (II. 30) величина в выражении (II. 26) равна нулю. Из выражения (II. 31) следует, что Оост будет минимальна, когда соответствует максимуму взаимокорреляционной функции Таким образом, погрешность, вносимая эквивалентной заменой динамического объекта, будет минимальна в том случае, когда моменты регистрации данных на входе и выходе объекта разделены временным сдвигом Величину минимальной погрешности можно определить по формуле

ЩХопт)

Удобно значение погрешности отнести к полной дисперсии выхода

Выражение (11.33) позволяет исследователю заранее оценить эффективность использования корреляционного уравнения для целей управления и тем самым выяснить целесообразность применения методов корреляционного и регрессионного анализов на данном объекте. Следовательно, учет динамических свойств объекта при отыскании его математического описания в статике методом корреляционного анализа сводится к двум моментам:

1. Определению соответствующего максимума взаимокорреляционной функции При сборе статистических данных используется как мера временного интервала , которым нужно разделить моменты регистрации входных и выходных параметров объекта. В этом случае погрешность от динамики объекта будет минимальна.

2. Вычислению по формуле (II. 33) минимального значения относительной погрешности и принятию решения о целесообразности применения корреляционного анализа для получения математического описания данного объекта.

Полученные соотношения легко распространить на случай, когда исследованию подвергается многоканальный динамический объект со слабой взаимосвязью входных параметров. При этом суммарная ошибка предсказания по множественному уравнению регрессии подсчитывается по формуле

где — число входов сложного объекта.

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Значения и могут быть подсчитаны аналитическим или графо-аналитическим методом при известной автокорреляционной функции входного сигнала и импульсной переходной функции объекта.

На рис. II.3 и II.4 приведены зависимости и для инерционного объекта с передаточной функцией и и автокорреляционной функцией входного сигнала Кривые построены в зависимости от для различных значений

В табл. II.2 приведены выражения, позволяющие рассчитать объектов с типовыми динамическими характеристиками для входного воздействия с [4].