7. СИНТЕЗ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ, ПРИЛОЖЕННЫХ К ДВУМ РАЗЛИЧНЫМ ТОЧКАМ (ЗАДАЧА ПЕЛЕГРЕНА)

Рассмотрим теперь случай, когда, помимо полезного сигнала и помехи приложенных ко входу, имеется возмущающее воздействие и приложенное к промежуточной точке системы (рис. VI 1.16). В остальном постановка задачи остается той же, что и в предыдущем параграфе [1], [8].

Рис. VII.16. Структурная схема, поясняющая постановку задачи синтеза по Пелегрену

Переходя в выражениях (VII.67), (VII.71) к пределу при , а также полагая получим выражение для среднеквадратической ошибки

и интегральное уравнение, определяющее оптимальную импульсную переходную функцию, будет:

Решение интегрального уравнения (VII.142), полученное при учете условия имеет вид

где — корни уравнения

Пример. Пусть

тогда

где

Зная корреляционную функцию и импульсную переходную функцию объекта, найдем по формуле (VI 1.68) корреляционную функцию

Спектральная плотность, соответствующая корреляционной функции (VII. 145), имеет вид

Спектральная плотность может быть записана следующим образом:

При этом характеристическое уравнение (VII. 144) принимает

Согласно выражению (VII. 143) оптимальная импульсная переходная функция будет

где, как это следует из выражения (VII. 146),

и

Далее имеем

и

Таким образом, выражение (VII. 147) сводится к виду

Подставляя последнее выражение в уравнение (VII. 142), получим

или

Рассматривая выражение (VII. 149) как тождество, найдем два алгебраических уравнения:

Решая уравнения (VII. 150) относительно неизвестных и подставляя полученные значения в выражение (VII.148), получим окончательную формулу для оптимальной импульсной переходной функции.