3. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ КРИТЕРИЯ ФИЗИЧЕСКОЙ ОСУЩЕСТВИМОСТИ

Системы с пропорциональными возмущениями. Пример абсолютно инвариантной физически осуществимой динамической системы впервые был предложен в работах [7], [8] в виде мостиковой схемы. Хотя эта динамическая система и не относится непосредственно к числу систем с замкнутым циклом передачи взаимодействий, что является характерным для систем автоматического регулирования, но ее структурная схема может

быть преобразована к виду, показанному на рис. IX. 3. Откуда получим

где изображения комплексных сопротивлений;

— изображение внешнего напряжения;

— токи в плечах моста.

Рис. IX.3. Структурная схема мостикового устройства

Условие абсолютной инвариантности найдется, если разрешить эту систему уравнений относительно

где главный определитель системы в замкнутом состоянии

может быть получено из определителя (IX.41) при замене первого столбца столбцом правых частей уравнения (IX.39):

Из выражения (IX.42) видно, что условием абсолютной инвариантности относительно служит известное соотношение

при выполнении которого мост будет уравновешен и ток в диагонали моста в данном случае не зависит от напряжения .

Используем критерий физической осуществимости абсолютно инвариантных систем для выяснения возможности реализации рассматриваемой динамической системы. Для этого разомкнем ее на выходе элемента тогда уравнения (IX.39) будут иметь вид

В этом случае вместо определителя (IX.41) получим

что соответствует необходимым условиям физической осуществимости абсолютно инвариантных систем.

Рис. IX.4. Структурная схема системы автоматического регулирования с одним регулируемым параметром

Так как условие инвариантности (IX.43) может быть выполнено путем применения физически реализуемых звеньев, то исследуемая система фактически может быть осуществима.

Рассмотрим также систему автоматического регулирования с одним регулируемым параметром (рис. IX.4).

Уравнения движения в этом случае будут иметь вид

где операторы могут быть, например, вида

Условие абсолютной инвариантности координаты относительно возмущения найдем, если разрешим систему уравнений (IX.46) относительно

где главный определитель системы в замкнутом состоянии

Определитель может быть получен из если в нем заменить первый столбец столбцом правых частей уравнений (IX.46):

Определители имеют вид

Раскрывая определитель (IX.49) по элементам первой строки, получим

Из выражения (IX.51) непосредственно получаем условие абсолютной инвариантности координаты относительно возмущения т. е.

Выбором коэффициентов операторов можно удовлетворить тождество (IX.52), не требуя, чтобы (что приводило к необходимости иметь регулятор с бесконечно большим коэффициентом усиления). В рассматриваемом случае можно удовлетворить условие абсолютной инвариантности, имея устойчивую систему.

Необходимые условия для физической осуществимости абсолютно инвариантной системы свидетельствуют о возможности ее реального осуществления, так как главный определитель в разомкнутом состоянии имеет вид

при

Система с косвенным измерением возмущений. Структурная схема системы автоматического регулирования, в которой используется косвенный метод измерения возмущения, приведена на рис. IX. 5. Идея косвенного измерения возмущений заключается в том, что при определенном подборе параметров системы, а именно операторов переменная будет пропорциональна (или просто равна) возмущающему воздействию

Рис. IX.5. Структурная схема системы автоматического регулирования с использованием косвенного метода измерения возмущения

Для этого необходимо, чтобы

Условием абсолютной инвариантности координаты относительно возмущения будет служить требование

Для того чтобы ответить на вопрос, осуществима ли физически система (рис. IX.5) при удовлетворенйи условий (IX.54) и (IX.55), воспользуемся формулировкой критерия физической осуществимости, приведенной выше.

Пользуясь структурной схемой (рис. IX.5), напишем для каждой из четырех переменных, характеризующих состояние этой системы регулирования, соответствующие уравнения:

Приведем уравнения (IX.56) к привычной форме записи, которая удобна для анализа в отношении физической осуществимости системы.

Будем обозначать буквами и Р с соответствующим индексом числители и знаменатели передаточных функций:

Тогда систему уравнений (IX.56) можно записать в виде

Вводя принятые обозначения, запишем систему уравнений (IX.57) в следующей форме:

где операторы отображают начальные условия для координат, а также для управляющего и возмущающего воздействий и записываются аналогично предыдущему.

Для того чтобы можно было воспользоваться критерием физической осуществимости, решим систему уравнений (IX.58) относительно переменной X, считая, что система разомкнута на выходе объекта регулирования. Так как в данной системе объект регулирования расчленен на две части и с выхода каждого из этих двух частей поданы сигналы по принципу обратной отрицательной связи на вход системы, то факт размыкания математически означает, что должно быть положено или, иначе говоря, Поэтому

где главный определитель системы в разомкнутом состоянии имеет вид

Раскрывая определитель (IX.60) и вводя принятые обозначения при переходе от системы уравнений (IX.57) к (IX.58), получим характеристическое уравнение для системы в разомкнутом виде:

При этом нетрудно обнаружить, что

откуда получим

В справедливости последнего тождества убеждаемся, использовав условие абсолютной инвариантности (IX.55). Поэтому характеристическое уравнение для системы в разомкнутом виде будет

Таким образом, нет надобности производить дальнейшее исследование, так как условие (IX.64) является достаточным признаком физической неосуществимости абсолютно-инвариантной системы. Поэтому необходимо сделать заключение о том, что рассматриваемая система «с косвенным измерением возмущений» физически неосуществима при выполнении условия абсолютной инвариантности (IX.63), и она оказывается системой, работающей на основании принципа регулирования „по отклонениям".

В тех случаях, когда объект регулирования имеет несколько степеней свободы, можно создать систему и на основе принципа регулирования „по отклонениям", удовлетворяющую условиям абсолютной инвариантности [12]. Этот класс системы является практически чрезвычайно важным, так как далеко не во всех случаях можно непосредственно измерять внешние возмущения, действующие на объект регулирования.