§ 8. Сохранение циркуляции скорости
Интеграл
взятый вдоль замкнутого контура, называют циркуляцией скорости вдоль этого контура.
Рассмотрим замкнутый контур, проведенный в жидкости в некоторый момент времени. Будем рассматривать его как «жидкий», т. е. как составленный из находящихся на нем частиц жидкости. С течением времени эти частицы передвигаются, а с ними перемещается и весь контур. Выясним, что происходит при этом с циркуляцией скорости вдоль контура. Другими словами, вычислим производную по времени
Мы пишем здесь полную производную по времени соответственно тому, что ищем изменение циркуляции вдоль перемещающегося жидкого контура, а не вдоль контура, неподвижного в пространстве.
Во избежание путаницы будем временно обозначать дифференцирование по координатам знаком 
, оставив знак d для
Кроме того, заметим, что элемент 
длины контура можно написать в виде разности 
радиус-векторов 
точек двух концов этого элемента. Таким образом, напишем циркуляцию скорости в виде
При дифференцировании этого интеграла по времени надо иметь в виду, что меняется не только скорость, но и сам контур (т. е. его форма). Поэтому, внося знак дифференцирования по времени под знак интеграла, надо дифференцировать не только v, но и 
:
Поскольку скорость v есть не что иное, как производная по времени от радиус-вектора 
, то
Но интеграл по замкнутому контуру от полного дифференциала равен нулю. Поэтому второй из написанных интегралов исчезает и остается
Теперь остается подставить сюда для ускорения 
его выражение согласно (2,9):
Применив формулу Стокса, получаем тогда (поскольку 
):
Таким образом, переходя к прежним обозначениям, находим окончательно:
или
(8,1)
Мы приходим к результату, что (в идеальной жидкости) циркуляция скорости вдоль замкнутого жидкого контура остается неизменной со временем. Это утверждение называют теоремой Томсона (W. Thomson, 1869) или законом сохранения циркуляции скорости. Подчеркнем, что он получен путем использования уравнения Эйлера в форме (2,9) и потому связан с предположением об изэнтропичности движения жидкости. Для неизэнтропического движения этот закон не имеет места.
Применив теорему Томсона к бесконечно малому замкнутому контуру 
и преобразовав интеграл по теореме Стокса, получим:
(8,2)
где 
— элемент жидкой поверхности, опирающийся на контур 
. Вектор 
часто называют завихренностью 2) течения жидкости в данной ее точке. Постоянство произведения (8,2) можно наглядно истолковать, сказав, что завихренность переносится вместе с движущейся жидкостью.
Задача
Показать, что при неизэнтропическом течении для каждой перемещающейся частицы остается постоянным связанное с ней значение произведения 
(Н. Ertel, 1942).
Решение. При неизэнтропическом движении правая сторона уравнения Эйлера (2,3) не может быть заменена на 
и вместо уравнения (2,11) получается
(для краткости обозначено 
). Умножим это равенство на 
поскольку 
, то 
выражается линейно через 
и произведение 
. После этого выражение в правой стороне уравнения преобразуем следующим образом:
Согласно (2,6) заменяем 
и получаем уравнение
Первые два члена объединяются в 
, а в последнем заменяем согласно (1,3) 
. В результате получаем
чем и выражается искомый закон сохранения.
