§ 79. Поглощение звука

Наличие вязкости и теплопроводности приводит к диссипации энергии звуковых волн, в связи с чем звук поглощается, т. е. его интенсивность постепенно уменьшается. Для вычисления диссипируемой в единицу времени энергии воспользуемся следующими общими соображениями. Механическая энергия представляет собой не что иное, как максимальную работу, которую можно получить при переходе из данного неравновеского состояния в состояние термодинамического равновесия. Как известно из термодинамики, максимальная работа совершается, если переход происходит обратимым образом (т. е. без изменения энтропии), и равна соответственно этому

где есть заданное начальное значение энергии тела в исходном состоянии, а — энергия тела в состоянии равновесия С той же энтропией S, которую тело имело вначале. Дифференцируя по времени, получаем:

Производная от энергии по энтропии есть температура. Поэтому — температура, которую имело бы тело, если бы оно находилось в состоянии термодинамического равновесия (с заданным значением энтропии). Обозначая эту температуру как , имеем, следовательно:

Воспользуемся для выражением (49,6), включающим в себя возрастание энтропии, обусловленное как теплопроводностью, так и вязкостью.

Поскольку температура Т мало меняется вдоль жидкости и мало отличается от , то можно вынести ее из-под знака интеграла и писать Т вместо :

Эта формула представляет собой обобщение формулы (16,3) на случай сжимаемой жидкости и наличия теплопроводности.

Пусть ось совпадает с направлением распространения звуковой волны. Тогда

Два последних члена в (79,1) дают

Нас, конечно, интересует среднее по времени значение величин; усреднение дает

( — объем жидкости).

Далее, вычислим первый член в (79,1). Отклонение Т температуры в звуковой волне от своего равновесного значения связано со скоростью формулой (64,13), так что градиент температуры равен

Для среднего по времени значения от первого члена в (79,1) лолучаем:

С помощью известных термодинамических формул

можно переписать это выражение в виде

Собирая полученные выражения, находим среднее значение диссипации энергии в виде

Полная же энергия звуковой волны равна

Введенный в § 25 коэффициент затухания волны определяет закон уменьшения интенсивности со временем. Для звука, однако, обычно приходится иметь дело с несколько иной постановкой задачи, в которой звуковая волна распространяется вдоль жидкости и ее интенсивность падает с увеличением пройденного расстояния Очевидно, что это уменьшение будет происходить по закону , а для амплитуды — как где коэффициент поглощения у определяется посредством

Подставляя сюда (79,3) и (79,4), находим, таким образом, следующее выражение для коэффициента поглощения звука:

Отметим, что он пропорционален квадрату частоты звука.

Эта формула применима постольку, поскольку определяемый ею коэффициент поглощения мал: должно быть мало относительное убывание амплитуды на расстояниях порядка длины волны (т. е. должно быть На этом предположении по существу основан изложенный вывод, так как мы вычислял» диссипацию энергии с помощью незатухающего выражения для звуковой волны. Для газов это условие фактически всегда выполнено. Рассмотрим, например, первый член в (79,6). Услозие означает, что должно быть как известна из кинетической теории газов, коэффициент вязкости v газа — порядка величины произведения длины свободного пробега на среднюю тепловую скорость молекул; последняя совпадает по порядку величины со скоростью звука в газе, так что Поэтому имеем:

так как заведомо . Член с теплопроводностью в (79,6) дает то же самое, поскольку

Что же касается жидкостей, то и здесь условие малости поглощения выполняется всегда, когда вообще имеет смысл задача о поглощении звука в той постановке, о которой здесь шла речь. Поглощение (на длине волны) может стать большим, лишь если силы вязких напряжений сравнимы с силами давления, возникающими при сжатии вещества. Но в таких условиях становится неприменимым уже самое уравнение Навьс — Стокса (с не зависящими от частоты коэффициентами вязкости) и возникает существенная, связанная с процессами внутреннего трения дисперсия звука.

При поглощении звука соотношение между волновым вектором и частотой можно, очевидно, написать в виде

(где а — коэффициент в (79,6)). Легко сообразить соответственно этому, каким образом надо видоизменить уравнение бегущей звуковой волны для того, чтобы учесть в нем эффект поглощения. Для этого замечаем, что в отсутствии поглощения дифференциальное уравнение для, скажем, давления Можно написать в виде

Уравнение же, решением которого была бы функция с из (79,8), надо, очевидно, написать в виде

Если ввести вместо t переменную то это уравнение перейдет в

т. е. уравнение типа одномерного уравнения теплопроводности.

Общее решение этого уравнения можно написать в виде (см. § 51)

Если волна излучалась в течение ограниченного промежутка времени, то на достаточно больших расстояниях от источника это выражение переходит в

Другими словами, на больших расстояниях профиль волны определяется гауссовой кривой. Его ширина , т. е. растет пропорционально корню из пройденного волной расстояния, амплитуда же волны надает как . Отсюда легко заключить, что полная энергия волны падает по тому же закону

Легко вывести аналогичные формулы для шаровых волн.

При этом надо учитывать, что для такой волны - (см. (70,8)). Вместо (79,11) получим теперь

или

(79,12)

Сильное поглощение должно происходить при отражении звуковой волны от твердой стенки. Причина этого явления состоит в следующем (К. F. Herzfeld, 1938; Б. П. Константинов, 1939).

В звуковой волне наряду с плотностью и давлением испытывает периодические колебания около своего среднего значения также и температура. Поэтому вблизи твердой стенки имеется периодически меняющаяся по величине разность температур между жидкостью и стенкой, даже если средняя температура жидкости равна температуре стенки. Между тем на самой поверхности температуры соприкасающихся жидкости и стенки должны быть одинаковыми. В результате в тонком пристеночном слое жидкости возникает большой градиент температуры; температура быстро меняется от своего значения в звуковой волне до температуры стенки. Наличие же больших градиентов температуры приводит к большой диссипации энергии путем теплопроводности. По аналогичной причине к большому поглощению звука приводит при наклонном падении волны также и вязкость жидкости. При таком падении скорость жидкости в волне (по направлению распространения волны) имеет отличную от нуля компоненту, касательную к поверхности стенки. Между тем на самой поверхности жидкость должна полностью «прилипать» к стенке. Поэтому в пристеночном слое жидкости возникает большой градиент касательной составляющей скорости, что и приводит к большой вязкой диссипации энергии (см. задачу 1).