§ 139. Уравнения гидродинамики сверхтекучей жидкости

Перейдем теперь к выводу полной системы гидродинамических уравнений, которые описывают движение гелия II макроскопическим (феноменологическим) образом. Согласно изложенным выше представлениям речь идет о составлении уравнений движения, описывающегося в каждой точке не одной, как в обычной гидродинамике, а двумя скоростями Оказывается, что искомая система уравнений может быть получена вполне однозначным образом, исходя из одних только требований, налагаемых принципом относительности Галилея и необходимыми законами сохранения (причем используются также свойства движения, выражаемые уравнениями (137,1) и (137,2)).

Следует иметь в виду, что фактически гелий II теряет свойство сверхтекучести при достаточно больших скоростях движения. Ввиду этого явления критических скоростей уравнения гидродинамики сверхтекучего гелия обладают реальным физическим смыслом лишь для не слишком больших скоростей

Тем не менее мы проведем сначала вывод этих уравнений, не делая никаких предположений о скоростях так как при пренебрежении высшими степенями скоростей теряется возможность последовательного вывода уравнений, исходя из законов сохранения. Переход к физически интересному случаю малых скоростей будет произведен в получающихся окончательных уравнениях.

Обозначим посредством j плотность потока массы жидкости; эта величина является в то же время импульсом единицы ее объема (ср. примечание на стр. 276). Напишем j в виде суммы

(139,1)

потоков, связанных соответственно с сверхтекучим и нормальным движениями. Коэффициенты можно назвать сверхтекучей и нормальной плотностями жидкости. Их сумма равна истинной плотности гелия II:

(139,2)

Величины являются, разумеется, функциями температуры; обращается в нуль при абсолютном нуле, когда гелий II «целиком сверхтекуч», обращается в нуль в -точке, когда жидкость становится «целиком нормальной».

Плотность и поток j должны удовлетворять уравнению непрерывности

(139,3)

выражающему закон сохранения массы. Закон сохранения импульса представляется уравнением вида

где — тензор плотности потока импульса.

Мы не будем рассматривать пока диссипативных процессов в жидкости; тогда движение обратимо и должна сохраняться также и энтропия жидкости. Имея в виду, что поток энтропии равен напишем уравнение сохранения энтропии в виде

(139,5)

К уравнениям (139,3)-(139,5) должно еще быть добавлено уравнение, определяющее производную по времени от скорости Это уравнение должно быть составлено таким образом, чтобы обеспечить сохранение со временем потенциальности движения: это значит, что производная должна выражаться в виде градиента некоторого скаляра. Мы напишем это уравнение в виде

где — некоторый скаляр.

Уравнения (139,4) и (139,6) приобретут реальный смысл, разумеется, лишь после того, как будет установлен вид пока не определенных величин Для этой цели надо использовать закон сохранения энергии и соображения, основанные на принципе относительности Галилея. Именно, необходимо, чтобы гидродинамические уравнения (139,3-6) автоматически приводили к выполнению закона сохранения энергии, выражающегося уравнением вида

(139,7)

где Е — энергия единицы объема жидкости и Q — плотность потока энергии. Принцип же относительности Галилея дает возможность определить зависимость всех величин от одной из скоростей при заданном значении относительной скорости обоих одновременно происходящих в жидкости движений.

Введем наряду с исходной системой координат К еще и другую систему, , в которой скорость сверхтекучего движения данного элемента жидкости равна нулю. Система Ко движется относительно системы К со скоростью, равной скорости сверхтекучего движения в исходной системе.

Значения всех величин в системе К связаны с их значениями в системе (которые мы отличаем индексом нуль) следующими известными из механики формулами преобразования:

(139,8)

(здесь () обозначает вектор с компонентами )

В системе данный элемент жидкости совершает лишь одно движение—нормальное движение со скоростью — . Поэтому все относящиеся к этой системе величины могут зависеть лишь от разности — а не от каждой из скоростей в отдельности; в частности, векторы должны быть направлены вдоль вектора Таким образом, формулы (139,8) определяют зависимость искомых величин от при заданном

Энергия рассматриваемая как функция от , s и импульса единицы объема жидкости, удовлетворяет термодинамическому соотношению

(139,9)

где — химический потенциал (термодинамический потенциал единицы массы). Первые два члена соответствуют обычному термодинамическому соотношению для дифференциала энергии неподвижной жидкости при постоянном (здесь — равном единице) объеме, а последний член выражает тот факт, что производная от энергии по импульсу есть скорость движения. Импульс (плотность потока массы в системе Ко) есть, очевидно, просто

(первая из формул (139,8) при этом совпадает с (139,1)).

Ход дальнейших вычислений состоит в следующем. В уравнение сохранения энергии (139,7) подставляем Е и Q из (139,8), причем производная выражается через производные от согласно (139,9).

После этого все производные по времени ( и др.) исключаем с помощью гидродинамических уравнений (139,3-6). Довольно громоздкие вычисления приводят, после значительных сокращений, к следующему результату:

здесь фигурирующий в (139,6) скаляр временно обозначен через (вместо ), и для сокращения записи обозначено кроме того, введено обозначение

(139,10)

смысл которого выяснится ниже. Это уравнение сохранения энергии должно удовлетворяться тождественно. При этом должны зависеть лишь от термодинамических переменных и от скорости w, но не от каких-либо градиентов этих величин (поскольку мы не рассматриваем диссипативных процессов). Эти условия определяют выбор выражений для однозначным образом.

Прежде всего, надо положить т. е. фигурирующий в уравнении (139,6) скаляр совпадает с химическим потенциалом жидкости, определенным согласно (139,9) (именно поэтому мы заранее обозначили его буквой ). Для остальных же величин надо положить:

Подставив теперь эти выражения в формулы (139,8), получим следующие окончательные выражения для плотности потока энергии и тензора плотности потока импульса:

(139,12)

Выражение (139,12) имеет вид, являющийся естественным обобщением формулы обычной гидродинамики. При этом величину , определенную согласно (139,10), естественно рассматривать как давление жидкости; в полностью покоящейся жидкости выражение (139,10) совпадает, разумеется, с обычным определением, так как становится обычным термодинамическим потенциалом единицы объема жидкости.

Уравнения (139,3-6) с определениями согласно (139,1), (139,12) представляют собой искомую полную систему гидродинамических уравнений. Эта система очень сложна прежде всего тем, что входящие в уравнения величины являются функциями не только термодинамических переменных и Т, но квадрата относительной скорости обоих движений Последний представляет собой скаляр, инвариантный относительно галилеевых преобразований системы отсчета и относительно вращения жидкости как целого; эта величина специфична для сверхтекучей жидкости, отнюдь не должна обращаться в ноль в термодинамическом равновесии, и должна фигурировать в уравнении состояния жидкости наряду с и Т.

Уравнения, однако, сильно упрощаются в физически интересном случае не слишком больших скоростей (малой величиной предполагается отношение скоростей к скорости второго звука — § 141).

Прежде всего, в этом случае можно пренебречь зависимостью от w; выражение (139,1) для потока j представляет собой при этом по существу первые члены разложения этой величины по степеням Разложение по степеням скоростей надо произвести и для остальных термодинамических величин, входящих в уравнения.

Дифференцируя выражение (139,10) и используя (139,9), получим следующее выражение для дифференциала химического потенциала:

(139,13)

Отсюда видно, что первые два члена разложения по степеням w имеют вид

(139,14)

где в правой стороне равенства стоят обычные химический потенциал и плотность неподвижной жидкости.

Дифференцируя это выражение по температуре и давлению, найдем соответствующие разложения для энтропии и плотности:

(139,15)

Они должны быть подставлены в гидродинамические уравнения, которые после этого будут справедливы с точностью до членов второго порядка по скоростям включительно (учет же в j зависимости от привел бы к членам третьего порядка малости)

Введение в гидродинамические уравнения членов, учитывающих диссипативные процессы в сверхтекучей жидкости, будет произведено в следующем параграфе. Но уже здесь сформулируем граничные условия к этим уравнениям.

Прежде всего, на всякой (неподвижной) твердой поверхности должна обращаться в нуль перпендикулярная к этой поверхности компонента потока массы j. Для выяснения граничных условий, налагаемых на надо вспомнить, что нормальное движение есть в действительности движение «газа» элементарных тепловых возбуждений в нем. При движении вдоль твердой поверхности кванты возбуждения взаимодействуют с ней, что должно быть описано макроскопически как «прилипание» нормальной части массы жидкости к стенке, подобно тому как это имеет место для обычных вязких жидкостей. Другими словами, на твердой поверхности должна обращаться в нуль тангенциальная компонента скорости

Что касается перпендикулярной к стенке компоненты то надо иметь в виду, что кванты возбуждения могут поглощаться или испускаться твердым телом — это соответствует просто теплопередаче между жидкостью и твердым телом.

Поэтому перпендикулярная к стенке компонента скорости не должна непременно обращаться в нуль; граничное условие требует лишь непрерывности перпендикулярной к стенке компоненты потока тепла. Температура же испытывает на границе скачок, пропорциональный тепловому потоку: с коэффициентом пропорциональности, зависящим от свойств как жидкости, так и твердого тела. Появление этого скачка связано с особенностями теплопередачи в гелии II. Все теплосопротивление между твердым телом и жидкостью сконцентрировано в пристеночном слое жидкости, поскольку конвективное распространение тепла в объеме жидкости практически не связано с каким бы то ни было теплосопротивлением; в результате весь перепад температуры, вызывающий появление теплового потока, происходит практически у самой поверхности.

Интересным свойством описанных граничных условий является то, что теплообмен между твердым телом и движущейся жидкостью приводит к появлению тангенциальных сил, действующих на поверхность тела. Если ось направлена по нормали, а ось у — по касательной к поверхности, то действующая на единицу площади касательная сила равна компоненте тензора потока импульса. Имея в виду, что на поверхности должно быть находим для этой силы отличное от нуля выражение

Вводя тепловой поток можно переписать эту силу

(139,16)

где — непрерывный на поверхности тепловой поток из твердого тела в жидкость.

При отсутствии теплопередачи между твердой стенкой и жидкостью граничное значение перпендикулярной к стенке компоненты тоже обращается в нуль. Граничные условия (ось направлена по нормали к поверхности) эквивалентны условиям Другими словами, в этом случае мы получим обычные граничные условия идеальной жидкости для и вязкой жидкости — для

Наконец, скажем несколько слов о гидродинамике смесей жидкого с посторонним веществом (фактически — с изотопом Не). Помимо уравнений, выражающих сохранение массы, импульса, энтропии и потенциальности сверхтекучего движения, полная система гидродинамических уравнений смеси должна содержать еще уравнение, выражающее собой сохранение каждого из двух веществ по отдельности. Оно имеет вид

где с — массовая концентрация в смеси, a i — плотность его гидродинамического потока.

Однако, требования, налагаемые законами сохранения и галилеевой инвариантностью оказываются достаточными для установления вида всех уравнений лишь если известно выражение потока i. Оно дается утверждением о том, что примесь принимает участие только в нормальном движении, т. е. .