§ 7. Поток импульса

Произведем теперь аналогичный вывод для импульса жидкости. Импульс единицы объема жидкости есть Определим скорость его изменения:

Будем производить вычисления в тензорных обозначениях. Имеем:

Воспользуемся уравнением непрерывности (1,2), написав его в виде

и уравнением Эйлера (2,3) в форме

Тогда получим:

Первый член справа напишем в виде

и находим окончательно:

где тензор определяется как

Он, очевидно, симметричен.

Для выяснения смысла тензора П, проинтегрируем уравнение (7,1) по некоторому объему:

Стоящий в правой стороне равенства интеграл преобразуем в интеграл по поверхности:

Слева стоит изменение в единицу времени компоненты импульса в рассматриваемом объеме. Поэтому стоящий справа интеграл по поверхности есть количество этого импульса, вытекающего в единицу времени через ограничивающую объем поверхность. Следовательно, есть компонента импульса, протекающего через элемент поверхности. Если написать в виде — абсолютная величина элемента поверхности, — единичный вектор внешней нормали к нему), то мы найдем, что есть поток компоненты импульса, отнесенный к единице площади поверхности.

Заметим, что согласно , это выражение может быть написано в векторном виде как

Таким образом, , есть компонента количества импульса, протекающего в единицу времени через единицу поверхности, перпендикулярную к оси а. Тензор называют тензором плотности потока импульса. Поток энергии, являющейся скалярной величиной, определяется вектором; поток же импульса, который сам есть вектор, определяется тензором второго ранга.

Вектор (7,4) определяет поток вектора импульса в направлении , т. е. через поверхность, перпендикулярную к . В частности, выбирая направление единичного вектора вдоль направления скорости жидкости, мы найдем, что в этом направлении переносится лишь продольная компонента импульса, причем плотность ее потока равна

В направлении же, перпендикулярном к скорости, переносится лишь поперечная (по отношению к v) компонента импульса, а плотность ее потока равна просто .