Задачи

1. Газ находится в цилиндрической трубе, неограниченной с одной стороны и закрытой поршнем с другой (х = 0). В момент времени поршень начинает двигаться равноускоренно со скоростью Определить возникающее движение газа (считая газ политропным).

Решение. Если поршень выдвигается из трубы то возникает простая волна разрежения, передний фронт которой распространяется вправо по неподвижному газу со скоростью со; в области газ неподвижен. На поверхности поршня скорость газа должна совпадать со скоростью поршня, т. е. должно быть при . Это условие дает для функции в (101,8):

Поэтому имеем: откуда

откуда

Эта формула определяет изменение скорости в области от поршня до переднего фронта волны в течение времени до

Скорость газа направлена везде влево, в сторону движения поршня, и монотонно убывает по абсолютной величине в положительном направлении оси в этом же направлении монотонно возрастают плотность и давление. При для скорости поршня не выполняется неравенство (101,10), а потому газ не может двигаться вместе с ним. Между поршнем и газом возникнет область вакуума, а дальше скорость газа будет меняться по формуле (1) от значения до нуля.

Рис. 81

Если поршень вдвигается в трубу то возникает простая волна сжатия; соответствующее решение получается просто изменением знака у а в формуле (1) (рис. 81, б). Оно применимо, однако, лишь до момента образования ударной волны; этот момент определяется по формуле (101,15) и равен

То же при произвольном законе движения поршня.

Решение. Пусть поршень в момент начинает двигаться по закону (причем его скорость Граничное условие на поршне при дает

Если рассматривать теперь t как параметр, то эти два уравнения определяют в параметрическом виде функцию Обозначая ниже этот параметр посредством , можем написать окончательное решение в виде

чем и определяется в параметрическом виде искомая функция в возникающей при движении поршня простой волне.

3. Определить время и место образования ударной волны при движении поршня по закону

Решение. Если т. е. поршень выдвигается из трубы, то. возникает простая волна разрежения, в которой ударные волны вообще не образуются. Ниже предполагается т. е. поршень вдвигается в трубу, создавая простую волну сжатия.

При параметрическом задании функции формулами (2) с

момент и место образования ударной волны определяются уравнениями:

причем второе уравнение надо заменить просто равенством если речь идет об образовании разрыва на переднем фронте простой волны.

При находим:

е. ударная волна образуется на переднем фронте через конечное время после начала движения, в согласии с результатом задачи 1.

При производная как функция от оказывается знакопеременной (а потому функция ) при заданном — многозначной) уже при всяком Это значит, что ударная волна образуется на поршне уже в самый момент начала его движения.

При ударная волна возникает не на переднем фронте простой волны, а в некоторой промежуточной точке, определяемой уравнениями (3). Определив из (3) значения можно затем по (2) найти и место образования разрыва. Вычисление дает

4. Для плоской волны малой амплитуды (звук) определить средние по времени значения величин в квадратичном по амплитуде приближении. Волна излучается поршнем, колеблющимся по некоторому закону причем .

Решение. Исходим из точного решения (101,9), записав его в эквивалентном виде, с другим выбором аргумента:

или где переменная определяется в неявном виде уравнением

Покажем, что при вычислении с точностью до величин второго порядка усреднение по t эквивалентно усреднению по При заданном имеем

(в знаменателе можно пренебречь малой величиной искомый эффект, связанный с накапливающимися нелинейными искажениями профиля, получается в результате разрешения уравнения (4) относительно v). Поэтому

Второй член всегда конечен и не дает вклада при усреднении по большому интервалу времени. Заметив также, что

приходим к требуемому результату где индекс у черты указывает переменную, по которой производится усреднение (ниже этот индекс опускаем) отметим, что среднее (по i) значение оказывается тем самым независящим от

Для задачи о колеблющемся поршне функция определяется уравнением (2), которое можно переписать в виде

или, ввиду малости амплитуды колебаний:

Усредняя последнее выражение, пишем

я поскольку среднее значение от полной производной обращается в ноль,

С той же точностью средняя по времени плотность потока вещества:

Используя (6) и равенство (в том же приближении) находим, что так и должно быть (в силу закона сохранения вещества) в чисто одномерном случае, когда ист подтекания вещества «сбоку». Для средней плотности потока энергии имеем:

(cp. § 65) и окончательно

Для вычисления надо выразить через v с точностью до членов Из (101,7) (или из (101,4) и (101,6) для не политропного газа) получим:

и после усреднения

Обратим внимание на то, что оказывается здесь отличным от нуля уже в квадратичном приближении — конец § 65.