Задачи

1. Исследовать устойчивость плоского фронта пламени при медленном горении по отношению к малым возмущениям.

Решение. Рассматриваем плоскость разрыва (фронт пламени) в системе координат, в которой он покоится (и совпадает с плоскостью невозмущенная скорость газа направлена в положительном направлении оси к. На движение с постоянными скоростями (по обе стороны разрыва) накладываем возмущение, периодическое по времени и по координате у. Из уравнений движения

(под подразумеваются или ) получаем, как и в § 29, уравнение

На поверхности разрыва (т. е. при должны выполняться следующие условия: условие непрерывности давления

условие непрерывности касательной к поверхности компоненты скорости

(где — малое смещение поверхности разрыва вдоль оси при возмущении) и условие неизменности нормальной скорости газа относительно разрыва

В области (исходный газ ) решение уравнений (1) и (2) пишем в виде

В области же (газ 2, продукты горения) наряду с решением вида должно быть учтено еще и другое частное решение уравнений (1) и (2), в котором зависимость величин от у и t определяется тем же множителем Это решение получится, если положить тогда в уравнении Эйлера правая часть исчезает, а остающееся однородное уравнение имеет решение, в котором

Причина, по которой это решение должно быть учтено только для газа 2, а не для газа 1, заключается в том, что нашей конечной целью является определение возможности существования таких частот , у которых мнимая часть положительна; но для таких множитель неограниченно возрастал бы с при и потому в области газа 1 такое решение должно быть отброшено.

Подбирая опять соответствующим образом постоянные коэффициенты, ищем решение при в виде

(7)

Положив также

и подставив все полученные выражения в условия (3) — (5), получим четыре однородных уравнения для коэффициентов Простое вычисление приводит к следующему условию совместности этих уравнений (при вычислении следует помнить, что ):

где Если то это уравнение имеет либо два отрицательных вещественных корня, либо два комплексно сопряженных корня с в этом случае движение устойчиво. Если же (и соответственно ), то оба корня уравнения (9) вещественны, причем один из них положителен:

(где ), так что движение неустойчиво; именно этот случай имеет место для фронта горения, поскольку плотность его продуктов всегда меньше плотности исходного газа в связи со значительным нагреванием.

Отметим, что это значит, что возмущения не распространяются вдоль фронта и усиливаются как стоячие волны. Неустойчивость имеет место для возмущений со всеми длинами волн, причем инкремент усиления растет с k (следует, однако, помнить, что исследование, в котором фронт рассматривается как геометрическая поверхность, относится лишь к возмущениям, длина волны которых велика по сравнению с При заданном k инкремент возрастает с увеличением

2. На поверхности жидкости происходит горение, причем самая реакция происходит в испаряющемся с поверхности паре. Определить условие устойчивости такого режима горения с учетом влияния поля тяжести и капиллярных сил (Л. Д. Ландау, 1944).

Решение. Рассматриваем зону горения в паре вблизи поверхности жидкости как поверхность разрыва, но приписываем теперь этой поверхности поверхностное натяжение а. Дальнейшие вычисления полностью аналогичны произведенным в задаче 1 с той лишь разницей, что вместо граничного условия (3) имеем теперь

(средой 1 является жидкость, а средой 2 — сгоревший газ).

Условия же (4) и (5) не меняются. Вместо уравнения (9) получаем теперь

Условие устойчивости рассматриваемого режима заключается в требовании, чтобы корни этого уравнения имели отрицательную вещественную часть, т. е. свободный член уравнения должен быть положительным при произвольном k. Это требование приводит к условию устойчивости:

Поскольку плотность газообразных продуктов горения мала по сравнению с плотностью жидкости то это условие фактически сводится к неравенству

3. Определить распределение температуры в газе перед плоским фронтом пламени.

Решение. В системе координат, движущейся вместе с фронтом, распределение температуры стационарно, а газ движется со скоростью — Уравнение теплопроводности

имеет решение

где — температура на фронте пламени, отсчитываемая от температуры вдали от него.