ГЛАВА I. ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ

§ 1. Уравнение непрерывности

Изучение движения жидкостей (и газов) представляет собой содержание гидродинамики. Поскольку явления, рассматриваемые в гидродинамике, имеют макроскопический характер, то в гидродинамике жидкость рассматривается как сплошная среда. Это значит, что всякий малый элемент объема жидкости считается все-таки настолько большим, что содержит еще очень большое число молекул. Соответственно этому, когда мы будем говорить о бесконечно малых элементах объема, то всегда при этом будет подразумеваться «физически» бесконечно малый объем, т. е. объем, достаточно малый по сравнению с объемом тела, но большой по сравнению с межмолекулярными расстояниями. В таком же смысле надо понимать в гидродинамике выражения «жидкая частица», «точка жидкости». Если, например, говорят о смещении некоторой частицы жидкости, то при этом идет речь не о смещении отдельной молекулы, а о смещении целого элемента объема, содержащего много молекул, но рассматриваемого в гидродинамике как точка.

Математическое описание состояния движущейся жидкости осуществляется с помощью функций, определяющих распределение скорости жидкости и каких-либо ее двух термодинамических величин, например давления и плотности Как известно, все термодинамические величины определяются по значениям каких-либо двух из них с помощью уравнения состояния вещества; поэтому задание пяти величин: трех компонент скорости v, давления и плотности , полностью определяет состояние движущейся жидкости.

Все эти величины являются, вообще говоря, функциями координат и времени t.

Подчеркнем, что есть скорость жидкости в каждой данной точке пространства в момент времени t, т. е. относится к определенным точкам пространства, а не к определенным частицам жидкости, передвигающимся со временем в пространстве; то же самое относится к величинам .

Начнем вывод основных гидродинамических уравнений с вывода уравнения, выражающего собой закон сохранения вещества в гидродинамике.

Рассмотрим некоторый объем пространства. Количество (масса) жидкости в этом объеме есть , где есть плотность жидкости, а интегрирование производится по объему . Через элемент поверхности, ограничивающей рассматриваемый объем, в единицу времени протекает количество жидкости; вектор по абсолютной величине равен площади элемента поверхности и направлен по нормали к ней. Условимся направлять по внешней нормали. Тогда положительно, если жидкость вытекает из объема, и отрицательно, если жидкость втекает в него. Полное количество жидкости, вытекающей в единицу времени из объема есть, следовательно,

где интегрирование производится по всей замкнутой поверхности, охватывающей рассматриваемый объем.

С другой стороны, уменьшение количества жидкости в объеме можно написать в виде

Приравнивая оба выражения, получаем:

Интеграл по поверхности преобразуем в интеграл по объему:

Таким образом,

Поскольку это равенство должно иметь место для любого объёма, то должно быть равным нулю подынтегральное выражение, т. е.

Это — так называемое уравнение непрерывности.

Раскрыв выражение , (1,2) можно написать также в виде

Вектор

называют плотностью потока жидкости. Его направление совпадает с направлением движения жидкости, а абсолютная величина определяет количество жидкости, протекающей в единицу времени через единицу площади, расположенной перпендикулярно к скорости.