§ 66. Отражение и преломление звуковых волн

Когда звуковая волна падает на границу раздела между двумя различными средами, она отражается и преломляется. Движение в первой среде является тогда наложением двух волн (падающей и отраженной), а во второй среде имеется одна (преломленная) волна. Связь между всеми тремя волнами определяется граничными условиями на поверхности раздела.

Рассмотрим отражение и преломление монохроматической продольной волны в случае плоской границы раздела. Плоскость выберем в качестве граничной. Легко видеть, что все три волны — падающая, отраженная и преломленная — будут иметь одинаковые частоты со и одинаковые компоненты волнового вектора (но не компоненту по направлению, перпендикулярному к плоскости раздела). Действительно, в неограниченной однородной среде монохроматическая волна с постоянными является решением уравнений движения. При наличии границы раздела добавляются лишь граничные которые в нашем случае относятся , т. е. не зависят ни от времени, ни от координат . Поэтому зависимость решения от t и от остается неизменной во всем пространстве и времени, т. е. остаются теми же, какими они были в падающей волне.

Из этого результата могут быть непосредственно выведены соотношения, определяющие направления распространения отраженной и преломленной волн.

Пусть плоскость падения волны. Тогда в падающей волне то же самое должно иметь место и для отраженной и преломленной волн. Таким образом, направления распространения падающей, отраженной и преломленной волн лежат в одной плоскости.

Пусть — угол между направлением волны и осью Тогда из равенства величин для падающей и отраженной волн следует, что

т. е. угол падения равен углу отражения . Из аналогичного же равенства для падающей и преломленной волн следует соотношение

между углом падения и углом преломления и — скорости звука в обеих средах).

Для того чтобы получить количественное соотношение между интенсивностями падающей, отраженной и преломленной волн, лишем потенциалы скорости в этих волнах соответственно в виде

На поверхности раздела должны быть равными давления ) и нормальные скорости в обеих средах; эти условия приводят к равенствам

Коэффициент отражения R определяется как отношение средних (по времени) плотностей потока энергии в отраженной и падающей волнах. Поскольку плотность потока энергии в плоской волне равна то имеем:

Простое вычисление приводит к результату

Углы и связаны друг с другом соотношением (66,2); выразив через , можно представить коэффициент отражения в виде

Для нормального падения эта формула дает просто

При угле падения, определяющемся из

коэффициент отражения обращается в нуль, т. е. звуковая волна целиком преломляется, не отражаясь вовсе; такой случай, возможен, если но (или наоборот).

Задача

Определить давление, оказываемое звуковой волной на границу раздела между двумя жидкостями.

Решение. Сумма полных потоков энергии в отраженной и преломленной волнах должна быть равна падающему потоку энергии. Относя поток энергии к единице площади поверхности раздела, напишем это условие в виде

где — плотности энергии в падающей, отраженной и преломленной волнах. Вводя коэффициент отражения имеем отсюда

Искомое давление определяется как компонента импульса, теряемого в. единицу времени звуковой волной (отнесенная к единице площади границы; раздела). С помощью выражения (65,12) для тензора плотности потока импульса в звуковой волне найдем:

Подставляя выражение для вводя R и используя (66,2), получим:

Для нормального падения найдем с помощью (66,5)