§ 135. Ударные волны в релятивистской гидродинамике

Теория ударных волн в релятивистской гидродинамике строится аналогично нерелятивистской теории (А. Н. Тaub, 1948).

Как и в § 85, рассматриваем поверхность разрыва в системе координат, в которой она покоится, а газ движется перпендикулярно ей (вдоль оси ) со стороны 1 на сторону 2. Условия непрерывности плотностей потока частиц, потока импульса и потока энергии гласят:

или, после подстановки значений компонент 4-скорости:

(135,1)

где объемы, отнесенные к одной частице

Из (135,1) и (135,2) находим

(135,4)

Далее, переписываем условие (135,3) с учетом (135,1) в виде

Путем простых алгебраических преобразований (из (135,1) выражаем через , а затем подставляем из (135,4)), получим следующее релятивистское уравнение ударной адиабаты (адиабата Тауба):

(135,5)

Приведем также выражения для скоростей газа по обе стороны поверхности разрыва, которые можно получить путем элементарных преобразований из условий (135,2-3):

Относительная же скорость газов по обе стороны разрыва согласно релятивистскому правилу сложения скоростей равна

В нерелятивистском пределе, если положить и пренебречь по сравнению с , формулы (135,4), (135,6-7) переходят в формулы (85,4), (85,6-7) (с учетом указанной в примечании разницы в определениях и V здесь и в § 85). Для ультрарелятивистского же уравнения состояния из (135,6) имеем

(отметим, что ). При увеличении интенсивности ударной волны стремится к скорости света,

Подобно тому, как в гл. IX мы изображали ударную адиабату графиком в плоскости , так естественными переменными для изображения релятивистской ударной адиабаты являются в этих координатах определяет наклон хорды, проведенной из начальной точки адиабаты 1 в произвольную точку 2.

Релятивистские ударные волны слабой интенсивности могут быть рассмотрены вполне аналогично тому, как это было сделано в § 86 в нерелятивистском случае (И. М. Халатников, 1954). Не повторяя заново всех вычислений, приведем результат для скачка энтропии, который снова оказывается малой величиной третьего порядка по сравнению со скачком давления:

Поскольку должно быть томы видим, что ударная волна является волной сжатия, если

Это условие представляет собой релятивистское обобщение условия (86,2) нерелятивистской гидродинамики.

При из (135,4) и (135,5) следует, что

отсюда, в свою очередь, следует, что во всяком случае — объем V должен уменьшиться даже сильнее, чем возрастает. Скорости ударной волны слабой интенсивности в первом приближении совпадают, естественно, со скоростью звука: поскольку изменение энтропии — величина третьего порядка, то выражения (135,6) при переходят в производную (134,14). Рассуждения, вполне аналогичные произведенным в § 86, показывают, что в следующем приближении

Таким образом, направление изменения величин в релятивистской ударной волне слабой интенсивности подчиняется (при условии (135,10)) тем же неравенствам, что и в нерелятивистском случае. Обобщение этого результата на ударные волны произвольной интенсивности оказывается возможным произвести способом, вполне аналогичным примененному в § 87.

Подчеркнем в то же время, что неравенства справедливы для релятивистских (как и для нерелятивистских) ударных волн вне зависимости от каких бы то ни было термодинамических условий — как следствие требования эволюционности. Напомним, что при выводе этих условий (§ 88) был существен только знак скоростей и ± v распространения звуковых возмущений в движущейся жидкости по отношению к неподвижной поверхности разрыва. Согласно релятивистскому правилу сложения скоростей эти скорости даются выражениями (и ± ), знак которых определяется только их числителями, так что все проведенные в § 88 рассуждения остаются в силе.