Уравнения принимают вид
(число 
— радиус трубы). Из первых двух уравнений следует, что 
, а исключив из остальных уравнений 
, получим
На стенках трубы 
должны удовлетворяться условие 
и условие 
(в случае а) или 
(в случае 
). Кроме того, должен быть равен нулю полный поток жидкости через поперечное сечение трубы. Уравнение имеет решения вида
где 
— функции Бесселя вещественного и мнимого аргумента, 
— полярные координаты в плоскости сечения трубы. Моменту возникновения конвекции отвечает то решение, которому соответствует наименьшее значение 31. Оказывается, что таковым является решение с 
(причем градиент 
Описываемое этими формулами движение антисимметрично относительно вертикальной плоскости, проходящей через ось трубы и делящей полость на две части; в одной из них жидкости опускается, а в другой поднимается. Написанное решение удовлетворяет условию 
при 
. В случае а условие 
приводит к уравнению 
его наименьший корень дает критическое число 
. В случае 
условие 
приводит к уравнению
Наименьший корень этого уравнения дает 
2. Сформулировать вариационный принцип для задачи о собственных 
чениях 91, определяемых уравнениями (57,12).
Решение. Придадим уравнениям (57,12) более симметричный вид, введя вместо 
новую функцию 
т. е. снова изменив единицу измерения температуры. Тогда:
Поступая, как при выводе (57,7), получим 
где
(интеграл N положителен, в чем легко убедиться, приведя его к виду 
Вариационный принцип формулируется, как требование экстремальности J при дополнительных условиях 
Минимальное значение J определяет наименьшее собственное значение 
в котором конвективная скорость v направлена везде по оси трубы (ось 
), а вся картина движения постоянна вдоль этой оси, т. е. величины 
зависят только от координат в плоскости сечения трубы 
