§ 29. Неустойчивость тангенциальных разрывов

Движением несжимаемой жидкости, неустойчивым в идеальной жидкости, являются течения, при которых два слоя жидкости двигались бы друг относительно друга, «скользя» один по другому; поверхность раздела между этими двумя слоями жидкости была бы поверхностью тангенциального разрыва, на которой скорость жидкости (направленная по касательной к поверхности) испытывала бы скачок (Н. Helmholtz, 1868; W. Kelvin,. 1871).

В дальнейшем мы увидим, к какой картине фактически осуществляющегося движения приводит эта неустойчивость (§ 35); здесь же проведем доказательство сделанного утверждения.

Рассматривая небольшой участок поверхности разрыва и течение жидкости вблизи него, мы можем считать этот участок плоским, а скорости жидкости по обеим его сторонам постоянными. Не ограничивая общности, можно считать, что одна из этих скоростей равна нулю; этого всегда можно добиться соответствующим выбором системы координат. Пусть обозначим просто как v; направление v выберем в качестве оси х, а ось z направим по нормали к поверхности.

Пусть поверхность разрыва испытывает слабое возмущение («рябь»), при котором все величины — координаты точек самой поверхности, давление и скорость жидкости — являются периодическими функциями, пропорциональными Рассмотрим жидкость с той стороны от поверхности разрыва, где ее скорость равна v, и обозначим посредством v малое изменение скорости при возмущении. Согласно уравнениям (26,4) (с постоянным имеем для возмущения v следующую систему

Поскольку v направлено по оси то второе уравнение можно, переписать в виде

Если применить к обеим его сторонам операцию то в силу первого уравнения мы получим слева нуль, так что должно удовлетворять уравнению Лапласа

Пусть есть смещение вдоль оси точек поверхности разрыва при возмущении. Производная есть скорость изменения координаты поверхности при заданной координате Поскольку нормальная к поверхности разрыва компонента скорости жидкости равна скорости перемещения самой поверхности, то в требуемом приближении имеем:

(для и надо, конечно, брать ее значение на самой поверхности).

Будем искать в виде

Подстановка в (29,2) дает для уравнение

откуда Пусть пространство с рассматриваемой стороны поверхности разрыва (сторона 1) соответствует положительным . Тогда мы должны взять так что

(29,4)

Подставляя это выражение в -компоненту уравнения (29,1), найдем

Смещение тоже ищем в виде, пропорциональном такому же экспоненциальному множителю и получаем из (29,3):

Вместе с (29,5) это дает

Давление по другую сторону поверхности выразится такой же формулой, в которой надо теперь положить и, кроме того, изменить общий знак (соответственно тому, что в этой области и все величины должны быть пропорциональны а не ). Таким образом,

Мы пишем различные плотности имея в виду охватить также и случай, когда речь идет о границе раздела между двумя различными несмешивающимися жидкостями.

Наконец, из условия равенства давлений на поверхности разрыва получаем:

откуда находим искомую зависимость между

Мы видим, что со оказывается комплексной величиной, причем всегда имеются со с положительной мнимой частью. Таким образом, тангенциальные разрывы неустойчивы — уже по отношению к бесконечно малым возмущениям. В таком виде этот результат относится к сколь угодно малой вязкости. В этом случае не имеет смысла различать неустойчивость сносового типа от абсолютной неустойчивости, поскольку с увеличением k мнимая часть со неограниченно возрастает, и потому коэффициент усиления возмущения при его сносе может быть сколь угодно велик.

При учете конечной вязкости тангенциальный разрыв теряет свою резкость; изменение скорости от одного до другого значения происходит в слое конечной толщины. Вопрос об устойчивости такого движения в математическом отношении вполне аналогичен вопросу об устойчивости в ламинарном пограничном слое с перегибом в профиле скоростей (§ 41). Экспериментальные данные и численные расчеты показывают, что в данном случае неустойчивость наступает очень рано, возможно даже, что всегда.