§ 101. Одномерные бегущие волны

При изучении звуковых волн в § 64 амплитуда колебаний в волне предполагалась малой. В результате уравнения движения оказывались линейными и могли быть легко решены. Решением этих уравнений является, в частности, функция от (плоская волна), что соответствует бегущей волне с профилем, перемещающимся со скоростью с без изменения своей формы (под профилем волны понимают распределение различных величин — плотности, скорости и т. п. — вдоль направления ее распространения). Поскольку скорость v, плотность и давление (как и другие величины) в такой волне являются функциями от одной и той же комбинации то они могут быть выражены как функции друг от друга в виде соотношений, не содержащих явно ни координаты, ни времени (например, и т. д.).

В случае произвольной, не малой, амплитуды волны эти простые соотношения уже не имеют места. Оказывается, однако, возможным найти общее решение точных уравнений движения, представляющее собой бегущую плоскую волну и являющееся обобщением решения приближенных уравнений, применимых в случае малых амплитуд. Для отыскания этого решения будем исходить из требования, чтобы в общем случае волны с произвольной амплитудой плотность и скорость могли быть выражены в виде функции друг от друга.

При отсутствии ударных волн движение адиабатично. Если в некоторый начальный момент времени газ был однороден (так что, в частности, было ), то и в дальнейшем будет все время , что и предполагается ниже; тогда и давление будет функцией только от плотности.

В плоской звуковой волне, распространяющейся вдоль оси все величины зависят только от х и t, а для скорости имеем . Уравнение непрерывности гласит:

а уравнение Эйлера

Воспользовавшись тем, что v может быть представлено в виде функции только от , напишем эти уравнения в виде

Замечая, что

получаем из (101,1)

а из (101,2) аналогично

Но поскольку значение определяет однозначным образом значение v, то безразлично, берется ли производная при постоянном или v, так что

откуда

Таким образом, откуда

Этим определяется общая связь между скоростью и плотностью или давлением в волне.

Далее, комбинируя (101,3) с (101,4), пишем:

или, интегрируя,

(101,5)

где - произвольная функция скорости, а функция определяется равенством (101,4).

Формулы (101,4-5) представляют собой искомое общее решение (впервые найденное Риманом — В. Riemanti, 1860).

Указанные формулы определяют неявным образом скорость (а с нею и остальные величины) как функцию от т. е. профиль волны в каждый момент времени. Для каждого определенного значения v имеем т. е. точка, в которой скорость имеет определенное значение, передвигается в пространстве с постоянной скоростью; в этом смысле найденное решение представляет собой бегущую волну. Два знака в (101,5) соответствуют волнам, распространяющимся (относительно газа) в положительном и отрицательном направлениях оси

Движение, описываемое решением (101,4-5) часто называют простой волной; ниже мы будем пользоваться этим термином. Изученное в § 99 автомодельное движение является частным случаем простой волны, соответствующим равной нулю функции в (101,5).

Выпишем в явном виде соотношения для простой волны в политропном газе; для определенности будем считать, что в волне есть точка, в которой как это обычно бывает в различных конкретных задачах. Поскольку формула (101,6) совпадает с формулой (99,6), то аналогично формулам (99,14-16) имеем:

(101,6)

Подставляя (101,6) в (101,5), получим:

Иногда бывает удобным писать это решение в виде

(101,9)

где F — опять произвольная функция.

Из формул (101,6-7) снова (как и в § 99) видно, что скорость, направленная в сторону, противоположную направлению распространения волны (относительно самого газа), ограничена по своей абсолютной величине; для волны, распространяющейся в положительном направлении оси имеем:

(101,10)

Бегущая волна, описываемая формулами (101,4-5), существенно отличается от волны, получающейся в предельном случае малых амплитуд. Скорость, с которой перемещаются точки профиля волны, равна

(101.11)

ее можно рассматривать наглядно как результат наложения распространения возмущения относительно газа со звуковой скоростью и перемещения самого газа со скоростью v.

Скорость и является теперь функцией плотности и поэтому различпа для разных точек профиля. Таким образом, в общем случае плоской волны произвольной амплитуды не существует определенной постоянной скорости волны. Благодаря различию в скоростях точек профиля волны последний не остается неизменным и меняет со временем свою форму.

Рассмотрим волну, распространяющуюся в положительном направлении оси для нее с. В § 99 была вычислена производная от с по плотности (см. (99,10)). Мы видели, что Таким образом, скорость распространения заданной точки профиля волны тем больше, чем больше плотность. Если обозначить посредством скорость звука для плотности, равной равновесной плотности то в местах, где имеется сжатие, в точках разрежения, напротив,

Рис. 80

Неодинаковость скорости перемещения точек профиля приводит к изменению его формы со временем: точки сжатия выдвигаются вперед, а точки разрежения оказываются отставшими (рис. 80, б). В конце концов профиль волны может настолько выгнуться, что кривая (при заданном t) оказывается неоднозначной — некоторым соответствует по три различных значения (рис. 80, в, пунктирная линия). Физически, разумеется, такое положение невозможно. В действительности, в местах неоднозначности возникают разрывы, в результате чего оказывается везде (за исключением самих точек разрыва) однозначной функцией. Профиль волны приобретает при этом вид, изображенный на рис. 80, в сплошной линией. Поверхности разрыва возникают, таким образом, на протяжении каждой длины волны.

После возникновения разрывов волна перестает быть простой. Наглядная причина этого заключается в том, что при наличии поверхностей разрыва происходит отражение волны от этих поверхностей, в результате чего волна перестает быть бегущей в одном направлении, а потому и лежащее в основе всего вывода предположение об однозначной зависимости между различными величинами не имеет, вообще говоря, места.

Наличие разрывов (ударных волн) приводит, как было указано в § 85, к диссипации энергии. Поэтому возникновение разрывов приводит к сильному затуханию волны. Наличие такого затухания видно уже непосредственно из рис. 80. При возникновении разрыва как бы отсекается наиболее высокая часть профиля волны. С течением времени, по мере продолжающегося выгибания профиля, его вышина все более уменьшается. Происходит сглаживание профиля с уменьшением его амплитуды, что и означает постепенное затухание волны.

Из сказанного выше ясно, что образование в конце концов разрывов должно произойти во всякой простой волне, в которой имеются участки, на которых плотность убывает в направлении распространения волны. Единственный случай, когда разрывы вообще не образуются, — волна, в которой плотность монотонно возрастает в направлении распространения на всем ее протяжении (такова, например, волна, возникающая при выдвигании поршня из заполненной газом бесконечной трубы; см. задачи к этому параграфу).

Хотя после образования разрыва волна и перестает быть простой, но самые момент и место образования разрыва могут быть определены аналитически. Мы видели, что с математической точки зрения возникновение разрывов связано с тем, что в простой волне величины как функции (при заданном t) становятся многозначными для моментов времени, превышающих некоторое определенное значение между тем как при эти функции однозначны. Момент есть момент образования разрыва. Уже из чисто геометрических соображений ясно, что в самый момент кривая зависимости, скажем, v от должна сделаться в некоторой точке вертикальной — как раз в той точке, вблизи которой функция стала бы затем многозначной. Аналитически это означает обращение производной в бесконечность, т. е. производной в нуль. Ясно также, что в момент кривая должна лежать по обе стороны от вертикальной касательной, в противном случае зависимость была бы многозначной уже и в этот момент времени. Другими словами, точка должна быть не точкой экстремума функции а точкой перегиба, и следовательно, должна обратиться в нуль также и вторая производная . Таким образом, место и момент образования ударной волны определяются совместным решением двух уравнений:

Для политропного газа эти уравнения гласят:

(101,13)

где — функция, входящая в общее решение (101,8).

Эти условия должны быть видоизменены, если простая волна граничит с яеподвижным газом и ударная волна возникает как раз на этой границе. И здесь в момент возникновения разрыва кривая должна стать вертикальной, т. е. производная должна обратиться в нуль. Обращение же в нуль второй производной не обязательно; вторым условием здесь является просто равенство нулю скорости на границе с неподвижным газом, так что имеем условие

Из этого условия время и место образования разрыва могут быть найдены в явном виде. Дифференцируя выражение (101,5), получим:

(101,14)

где — значение при величины а, определяемой формулой (102,2). Для политропного газа