§ 5. Уравнение Бернулли
Уравнения гидродинамики заметно упрощаются в случае стационарного течения жидкости. Под стационарным (или установившимся) подразумевают такое течение, при котором в каждой точке пространства, занятого жидкостью, скорость течения остается постоянной во времени. Другими словами, v является функцией одних только координат, так что 
. Уравнение (2,10) сводится теперь к равенству
Введем понятие о линиях тока как линиях, касательные к которым указывают направление вектора скорости в точке касания в данный момент времени; они определяются системой дифференциальных уравнений
При стационарном движении жидкости линии тока остаются неизменными во времени и совпадают с траекториями частиц жидкости. При нестационарном течении такое совпадение, разумеется, не имеет места: касательные к линии тока дают направления скорости разных частиц жидкости в последовательных точках пространства в определенный момент времени, в то время как касательные к траектории дают направления скорости определенных частиц в последовательные моменты времени.
Умножим уравнение (5,1) на единичный вектор касательной к линии тока в каждой ее точке; этот единичный вектор обозначим 1. Проекция градиента на некоторое направление равна, как известно, производной, взятой по этому направлению.
Поэтому искомая проекция от 
есть 
Что касается вектора 
, то он перпендикулярен к скорости v, и потому его проекция на направление 1 равна нулю.
Таким образом, из уравнения (5,1) мы получаем:
Отсюда следует, что величина 
постоянна вдоль линии тока:
(5,3)
Значение const, вообще говоря, различно для разных линий тока. Уравнение (5,3) называют уравнением Бернулли.
Если течение жидкости происходит в поле тяжести, то к правой части уравнения (5,1) надо прибавить еще ускорение силы тяжести g. Выберем направление силы тяжести в качестве направления оси z, причем положительные значения z отсчитываются вверх. Тогда косинус угла между направлениями g и 1 равен производной 
так что проекция g на 1 есть
Соответственно этому будем иметь теперь
Таким образом, уравнение Бернулли гласит, что вдоль линий тока остается постоянной сумма
(5,4)
