§ 92. Косая ударная волна

Рассмотрим стационарную ударную волну, отказавшись при этом от подразумевавшегося везде выше выбора системы координат, в которой скорость газа направлена перпендикулярно к данному элементу поверхности волны. Линии тока могут пересекать поверхность такой ударной волны наклонно, причем пересечение сопровождается преломлением линий тока. Касательная составляющая скорости газа не меняется при прохождении через ударную волну, а нормальная составляющая согласно (87,4) падает:

Поэтому ясно, что при прохождении через ударную волну линии тока приближаются к ней (как это показано на рис. 63). Таким образом, преломление линий тока на ударной волне происходит всегда в определенном направлении.

Выберем направление скорости газа перед ударной волной в качестве оси и пусть — угол между поверхностью разрыва и осью (рис. 63). Возможные значения угла ограничены лишь условием, чтобы нормальная составляющая скорости превышала скорость звука

Поскольку , то отсюда следует, что может иметь произвольные значения в интервале между и углом Маха

Движение позади ударной волны может быть как так и сверхзвуковым (меньше скорости звука должна быть лишь нормальная компонента скорости); движение же перед ударной волной — непременно сверхзвуковое. Если движение газа по обе стороны от ударной волны является сверхзвуковым, то все возмущения могут распространяться вдоль ее поверхности лишь в ту сторону, куда направлена касательная к ней составляющая скорости газа. В этом смысле можно говорить о «направлении» ударной волны и различать по отношению к какому-либо месту «исходящие» из него и «приходящие» волны (подобно тому как мы это уже делали для характеристик, вокруг которых движение всегда является сверхзвуковым; см. § 82). Если же движение позади ударной волны является дозвуковым, то понятие о ее направлении теряет, строго говоря, смысл, так как возмущения могут распространяться вдоль ее поверхности во все стороны.

Рис. 63

Выведем соотношение, связывающее друг с другом две компоненты скорости газа после его прохождения через косую ударную волну; при этом будем предполагать газ политропным.

Непрерывность касательной к волне составляющей скорости означает, что или

Далее, воспользуемся формулой (89,6); в этой формуле обозначают нормальные к плоскости ударной волны составляющие скорости и должны быть теперь заменены на так что имеем:

Из двух написанных соотношений можно исключить угол

После простых преобразований получим следующую формулу, определяющую связь между (при заданных ):

Этой формуле можно придать более изящный вид, если ввести в нее критическую скорость. Согласно уравнению Бернулли и определению критической скорости имеем:

(ср. задачу 1 § 89), откуда

Введя эту величину в (92,3), получим:

Уравнение (92,5) называют уравнением ударной поляры (А. Busemanti, 1931). На рис. 64 изображен график этой зависимости; это есть кривая третьего порядка (так называемая строфоида или декартов лист).

Рис. 64

Она пересекает ось абсцисс в точках Р и Q (рис. 64), соответствующих значениям Проведя из начала координат луч (ОВ на рис. 64) под углом абсцисс по длине его отрезка до точки пересечения с кривой ударной поляры, мы определяем скорость газа за скачком, поворачивающим поток на угол . Таких точек пересечения имеется две (А и В), т. е. заданному значению отвечают две различные ударные волны.

Направление ударной волны тоже может быть сразу определено графически по этой же диаграмме — оно определяется перпендикуляром, опущенным из начала координат на прямую, проведенную из точки Q соответственно через точку В или А (на рис. 64 изображен угол для волны, соответствующей точке В). При уменьшении точка А приближается к точке Р, отвечающей прямому скачку с Точка же В приближается при этом к точке Q, причем интенсивность ударной волны (скачок скорости в ней) стремится к нулю; в пределе, в самой точке Q, угол равен, как и следовало, углу Маха (угол наклона касательной к поляре к оси абсцисс в этой точке равен ).

Из диаграммы ударной поляры сразу можно вывести важное заключение, что угол отклонения потока в ударной волне не может превышать некоторого максимального значения соответствующего луча, проведенному из точки О касательно к кривой. является, конечно, функцией числа мы не приводим ее здесь ввиду ее громоздкости. При имеем а при возрастании угол монотонно растет и при стремится к конечному пределу. Легко рассмотреть оба предельных случая.

Если скорость близка к , то вместе с ней близка к с и скорость , а угол мал; уравнение ударной поляры (92,5) можно тогда приближенно переписать в виде

(ввиду малости угла здесь положено Отсюда элементарным путем найдем:

В обратном предельном случае, при ударная поляра вырождается в окружность

Легко видеть, что при этом

На рис. 65 изображен график зависимости от для воздуха горизонтальный пунктирный отрезок показывает предельное значение (верхняя кривая на рисунке аналогичный график для обтекания конуса; см. § 113).

Окружность — с пересекает ось абсцисс между точками Р и Q (рис. 64) и поэтому делит ударную поляру на две части, соответствующие и сверхзвуковым скоростям газа позади разрыва. Точка пересечения окружности с полярой лежит правее точки С, но очень близко к ней; поэтому весь участок РС соответствует переходам к дозвуковым скоростям, а участок CQ (за исключением лишь очень небольшого участка вблизи точки С) — переходам к сверхзвуковым скоростям.

Изменения давления и плотности в косой ударной волне зависят только от нормальных к ней компонент скорости. Поэтому отношения при заданных и Ф получаются из формул просто путем замены в них на

Эти отношения монотонно возрастают при увеличении угла от значения (когда до , т. е. по мере перемещения по ударной поляре от точки Q к точке Р.

Приведем еще, для справок, формулу, выражающую угол поворота скорости через число и угол

(92,11) и формулу, определяющую число по

(при последнее выражение переходит в (89,9)).

Две ударные волны, определяемые ударной полярой для заданного угла поворота скорости, называют волнами слабого и сильного семейства. Ударная волна сильного семейства (участок РС поляры) обладает большей интенсивностью (большим отношением ), образует больший угол с направлением скорости и превращает течение из сверх- в дозвуковое.

Рис. 65

Волна же слабого семейства (участок QC поляры) обладает меньшей интенсивностью, наклонена к потоку под меньшим углом и почти всегда оставляет течение сверхзвуковым.

Для иллюстрации на рис. 66 изображены зависимости угла отклонения скорости от угла наклона поверхности разрыва для воздуха при нескольких различных значениях числа в том числе для предела Ветви кривых, изображенные сплошными линиями, отвечают ударным волнам слабого семейства, а изображенные пунктиром — ударным волнам сильного семейства.

Рис. 66

Пунктирная линия — геометрическое место точек максимального (при каждом заданном ) угла отклонения, а сплошная линия разделяет области сверх- и дозвукового течения позади разрыва; узкая область между этими двумя линиями отвечает ударным волнам слабого семейства, превращающим, однако, течение из сверх- в дозвуковое. Разность значений угла на линиях — хтах и (при заданном ) нигде не превышает разность же между и значением на линии (тоже при заданном ) не превышает 0,5°.