Задачи

1. Определить долю энергии, поглощаемой при отражении звуковой волны от твердой стенки. Плотность вещества стенки предполагается настолько большой, что звук практически не проникает в него, а теплоемкость — настолько большой, что температуру стенки можно считать постоянной.

Решение. Выбираем плоскость стенки в качестве плоскости а плоскость падения в качестве плоскости у. Угол падения (равный углу отражения) есть 0. Изменение плотности в падающей волне в некоторой точке на поверхности (скажем, в точке есть Отраженная волна имеет ту же амплитуду, так что у стенки в ней . Реальное изменение плотности жидкости, в которой распространяются одновременно обе волны (падающая и отраженная), есть . Скорость жидкости в волне определяется согласно

Полная скорость на стенке есть поэтому

(вернее, это есть то значение скорости, которое она имеет без учета верных граничных условий на поверхности стенки при наличии вязкости). Истинный ход скорости вблизи стенки определяется формулой (24,13), а связанная с вязкостью диссипация энергии — формулой (24,14), в которые надо вместо подставить полученное выше выражение для

Отклонение Т температуры от своего среднего значения (равного температуре стенки) без учета правильных граничных условий на стенке получилось бы равным (см. (64,13))

В действительности же распределение температуры определяется уравнение теплопроводности с граничным условием при и соответственно этому изображается формулой, в точности аналогичной (24,13).

Вычисляя связанную с теплопроводностью диссипацию энергии согласно первому члену формулы (79,1), получим в результате для полной диссипации энергии, отнесенной к единице площади поверхности стенки:

Средняя плотность потока энергии, падающего на единицу поверхности стенки с падающей волной, равна

Поэтому доля энергии, поглощающейся при отражении, есть

Это выражение справедливо лишь до тех пор, пока оно мало (при выводе считали амплитуды падающей и отраженной волн одинаковыми). Это условие означает, что угол падения 0 не должен быть слишком близким к .

2. Определить коэффициент поглощения звука, распространяющегося по цилиндрической трубе.

Решение. Основная доля поглощения обусловлена эффектом, происходящим от наличия стенок. Коэффициент поглощения у равен энергии, диссипируемой в единицу времени на поверхности стенок единицы длины трубы, деленной на удвоенный полный поток энергии через поперечное сечение трубы. Вычисление, аналогичное произведенному в задаче 1, приводит к результату (R — радиус трубы):

3. Найти закон дисперсии для звука, распространяющегося в среде с очень большой теплопроводностью.

Решение. При наличии большой теплопроводности движение в звуковой волне не адиабатично. Поэтому вместо условия постоянства энтропии имеем теперь уравнение

(линеаризованное уравнение (49,4) без вязких членов). В качестве второго уравнения берем

получающееся путем исключения v из уравнений (64,2-3). Выбирая в качестве основных переменных и Т, пишем и s в виде

Эти выражения подставляем в (1) и (2), после чего ищем в виде, пропорциональном Условие совместимости получающихся таким образом двух уравнений для и Г можно привести (путем использования ряда известных соотношений между производными от термодинамических величин) к виду

чем и определяется искомая зависимость k от . Здесь введены обозначения

( — отношение теплоемкостей ).

В предельном случае малых частот () уравнение (3) дает

что соответствует распространению звука с обычной «адиабатической» скоростью и малым коэффициентом поглощения, совпадающим со вторым членом в (79,6). Так и должно было быть, поскольку условие означает, что за время одного периода тепло успевает распространиться лишь на расстояние малое по сравнению с длиной волны

В обратном предельном случае больших частот из (3) находим:

В этом случае звук распространяется с «изотермической» скоростью (всегда меньшей скорости ). Коэффициент же поглощения оказывается снова малым (по сравнению с обратной длиной волны), причем он не зависит от частоты и обратно пропорционален теплопроводности.

4. Определить дополнительное поглощение звука, распространяющегося в смеси двух веществ, связанное с диффузией (И. Г. Шапошников и 3. А Гольдберг, 1952).

Решение. В смеси имеется дополнительный источник поглощения звука, связанный с тем, что возникающие в звуковой волне градиенты температуры и давления приводят к появлению необратимых процессов термо- и бародиффузии (градиента же массовой концентрации, а с ней и чистой диффузии, очевидно, не возникает). Это поглощение определяется членом

в скорости изменения энтропии (59,13) (мы обозначим здесь концентрацию посредством С в отличие от скорости звука с). Диффузионный поток

с из (59,10). Вычисление, аналогичное произведенному в тексте, с использованием ряда соотношений между производными термодинамических величин приводит к следующему результату: к выражению (79,6) для коэффициента поглощения добавляется член

5. Определить эффективное сечение поглощения звука шариком, радиус которого мал по сравнению с

Решение. Полное поглощение складывается из эффектов вязкости и теплопроводности газа. Первый определяется работой стоксовой силы трения при обтекании шарика движущимся в звуковой волне газом (как и в задаче 3 § 78, предполагается, что шарик не увлекается этой силой). Второй эффект определяется количеством тепла q, передаваемым в единицу времени от газа шарику (задача 3 § 78): диссипация энергии при передаче тепла при разности температур V между газом (вдали от щарика) и шариком равна

Для суммарного эффективного сечения поглощения получается выражение