§ 76. Принцип взаимности

При выводе уравнений звуковой волны в § 64 предполагалось, что волна распространяется в однородной среде. В частности, плотность среды и скорость звука в ней с рассматривались как постоянные величины. Имея в виду получить некоторые общие соотношения, применимые и в общем случае произвольной неоднородной среды, выведем предварительно уравнение распространения звука в такой среде.

Напишем уравнение непрерывности в виде

Но в силу адиабатичности звука имеем:

и уравнение непрерывности приводится к виду

Положим, как обычно, , причем является теперь заданной функцией координат. Что же касается давления, то в должно по-прежнему быть , поскольку в равновесии давление должно быть постоянно вдоль всей среды (если, конечно, отсутствует внешнее поле). Таким образом, с точностью до величин второго порядка малости имеем:

Это уравнение совпадает по форме с уравнением (64,5), но коэффициент в нем есть функция координат. Что касается уравнения Эйлера, то мы имеем, как и в § 64:

Исключая v из обоих этих уравнений (и опуская индекс у получаем окончательно уравнение распространения звука в неоднородной среде:

Если речь идет о монохроматической волне с частотой , то так что

Рассмотрим звуковую волну, излучаемую источником небольших размеров, совершающим пуяьсационные колебания (такое излучение, как мы видели в § 74, изотропно).

Обозначим точку, в которой находится источник, посредством А, а давление в излучаемой им волне в точке посредством Если тот же самый источник помещен в точку В, то создаваемое им в точке А давление обозначим соответственно посредством Выведем соотношение между

Для этого воспользуемся уравнением (76,2), применив его один раз к излучению источника, находящегося в точке А, а другой раз — к излучению источника, находящегося в В:

Умножим первое уравнение на а второе на и вычтем второе из первого. Получаем:

Проинтегрируем это уравнение по объему, заключенному между бесконечно удаленной замкнутой поверхностью С и двумя малыми сферами окружающими соответственно точки А и В. Объемный интеграл преобразуется в интеграл по этим трем поверхностям, причем интеграл по С обращается в нуль, поскольку на бесконечности звуковое поле исчезает. Таким образом, получим:

Внутри малой сферы давление в волне, создаваемой источником, находящимся в А, быстро меняется с расстоянием от А, и потому градиент велик. Давление же создаваемое источником, находящимся в В, в области вблизи точки А, значительно удаленной от В, является медленно меняющейся функцией координат, так что его градиент относительно мал. При достаточно малом радиусе сферы СА можно поэтому в интеграле по ней пренебречь вторым членом подынтегрального выражения по сравнению с первым, а в последнем можно вынести почти постоянную величину из-под знака интеграла, заменив ее значением в точке А. Аналогичные рассуждения применимы к интегралу по сфере и в результате мы получаем из (76,3) следующее соотношение:

Но поэтому это равенство можно переписать в виде

Интеграл представляет собой количество жидкости, протекающей через поверхность сферы в единицу времени, т. е. изменение (в 1 сек.) объема пульсирующего источника звука. Поскольку источники в точках А и В тождественны, то ясно, что

и, следовательно,

Это равенство представляет собой содержание так называемого принципа взаимности: давление, создаваемое в точке В источником, находящимся в точке А, равно давлению, создаваемому в А таким же источником, находящимся в В. Подчеркнем, что этот результат относится, в частности, и к тому случаю, когда среда представляет собой совокупность нескольких различных областей, каждая из которых однородна. При распространении звука в такой среде на поверхностях раздела различных областей происходит отражение и преломление. Таким образом, принцип взаимности применим и в тех случаях, когда на пути своего распространения от точки А к В и обратно волна испытывает отражения и преломления.

Задача

Вывести принцип взаимности для дипольного звукового излучения, создаваемого источником, совершающим колебания без изменения своего объема. Решение. В данном случае

(1)

и при вычислении интегралов в (76,3) необходимо учесть следующее приближение. Для этого пишем с точностью до членов первого порядка

где — радиус-вектор из точки А В интеграле

оба члена имеют теперь одинаковый порядок величины.

Подставляя сюда из (2) и учитывая (1), получим

Далее, выносим почти постоянную величину из-под знака интеграла, заменив ее значением в точке А:

( — плотность среды в точке А). Для вычисления этого интеграла замечаем, что вблизи источника жидкость можно считать несжимаемой (см. § 74), и потому для давления внутри малой сферы можно написать согласно

В монохроматической волне вводя также единичный вектор в направлении вектора А для источника, находящегося в точке А, найдем, что интеграл (3) пропорционален по величине

Аналогично интеграл но сфере будет пропорционален

с тем же коэффициентом пропорциональности. Приравнивая их сумму нулю, найдем искомое соотношение

выражающее собой принцип взаимности для дипольного звукового излучения.