§ 55. Нагревание тела в движущейся жидкости
Термометр, погруженный в неподвижную жидкость, показывает температуру, равную температуре жидкости. Если же жидкость движется, то термометр покажет температуру несколько более высокую. Это обусловливается нагреванием благодаря внутреннему трению тормозящейся у поверхности термометра жидкости.
Общую задачу можно сформулировать следующим образом. Тело произвольной формы погружается в движущуюся жидкость; по истечении достаточного промежутка времени установится некоторое тепловое равновесие и требуется определить возникающую при этом разность температур 
между ними.
Решение этой задачи определяется уравнением (50,2), в котором, однако, теперь уже нельзя пренебречь членом, содержащим вязкость, как это было сделано в (53,1); именно этот член определяет интересующий нас здесь эффект. Таким образом, для установившегося состояния имеем уравнение
К нему должны быть присоединены уравнения движения (53,3) самой жидкости и, строго говоря, еще и уравнение теплопроводности внутри твердого тела. В предельном случае достаточно малой теплопроводности тела можно пренебречь ею вовсе и температуру каждой точки поверхности тела считать просто равной температуре жидкости в той же точке, получающейся в результате решения уравнения (55,1) с граничным условием 
т. е. условием исчезновения потока тепла через поверхность тела. В обратном предельном случае достаточно большой теплопроводности тела можно приближенно потребовать одинаковости температуры во всех точках его поверхности; производная 
при этом, вообще говоря, не обращается в нуль на всей поверхности и следует требовать исчезновения лишь полного потока тепла через всю поверхность тела (т. е. интеграла от 
по этой поверхности). В обоих этих предельных случаях коэффициент теплопроводности тела не входит явно в решение задачи; ниже мы будем предполагать, что имеем дело с одним из них.
В уравнения (55,1) и (53,3) входят постоянные параметры 
и, кроме того, в их решение войдут размеры тела 
и скорость U набегающего потока. (Разность же температур 
не является теперь произвольным параметром, а должна сама быть определена в результате решения уравнений.) Из этих параметров можно составить две независимые безразмерные комбинации, в качестве которых выберем R и Р. Тогда можно утверждать, что искомая разность 
равна какой-либо величине с размерностью температуры (в качестве таковой выберем 
), умноженной на функцию от R и Р:
Легко определить вид этой функции в случае очень малых чисел Рейнольдса, т. е. достаточно малых скоростей U. Тогда член 
в (55,1) мал по сравнению с 
так что уравнение (55,1) упрощается:
Температура и скорость испытывают заметное изменение на протяжении расстояний порядка размеров I тела.
Поэтому оценка обеих сторон уравнения (55,3) дает
Таким образом, приходим к результату, что при малых 
где const — численная постоянная, зависящая от формы тела. Отметим, что разность температур оказывается пропорциональной квадрату скорости 
Некоторые общие заключения о виде функции 
в (55,2) можно сделать и в обратном предельном случае больших R, когда скорость и температура меняются только в узком пограничном слое. Пусть 
— расстояния, на которых меняются соответственно скорость и температура; 
отличаются друг от друга множителем, зависящим от Р. Количество тепла, выделяемое в пограничном слое в единицу времени благодаря вязкости, дается интегралом (16,3). Отнесенное к единице площади поверхности тела, оно равно по порядку величины 
С другой стороны, это тепло должно быть равно теплу, теряемому телом и равному потоку
Сравнив оба выражения, приходим к результату
Таким образом, и в этом случае функция 
оказывается не зависящей от R; зависимость же ее от Р остается неопределенной.
