§ 84. Поверхности разрыва

В предыдущих главах мы рассматривали только такие течения, при которых распределение всех величин (скорости, давления, плотности и т. д.) в газе непрерывно. Возможны, однако, и движения, при которых возникают разрывы непрерывности в распределении этих величин.

Разрыв непрерывности в движении газа имеет место вдоль некоторых поверхностей; при прохождении через такую поверхность указанные величины испытывают скачок. Эти поверхности называют поверхностями разрыва. При нестационарном движении газа поверхности разрыва не остаются, вообще говоря, неподвижными; необходимо при этом подчеркнуть, что скорость движения поверхности разрыва не имеет ничего общего со скоростью движения самого газа. Частицы газа при своем движении могут проходить через эту поверхность, пересекая ее.

На поверхностях разрыва должны выполняться определенные граничные условия.

Для формулирования этих условий рассмотрим какой-нибудь элемент поверхности разрыва и воспользуемся связанной с этим элементом системой координат с осью направленной по нормали к нему.

Во-первых, на поверхности разрыва должен быть непрерывен поток вещества: количество газа, входящего с одной стороны, должно быть равно количеству газа, выходящему с другой стороны поверхности. Поток газа через рассматриваемый элемент поверхности (отнесенный на единицу площади) равен Поэтому должно выполняться условие где индексы 1 и 2 относятся к двум сторонам поверхности разрыва.

Разность значений какой-либо величины с обеих сторон поверхности разрыва мы будем ниже обозначать посредством квадратных скобок; так,

и полученное условие напишется в виде

Далее, должен быть непрерывным поток энергии. Поток энергии определяется выражением (6,3). Поэтому мы получаёк условие

Наконец, должен быть непрерывен поток импульса, т. е. должны быть равны силы, с которыми действуют друг на друга газы по обеим сторонам поверхности разрыва. Поток импульса через единицу площади равен (см. § 7)

Вектор нормали направлен по оси Поэтому непрерывность А - компоненты потока импульса приводит к условию

а непрерывность у- и -компонент дает

Уравнения (84,1-4) представляют собой полную систему граничных условий на поверхности разрыва. Из них можно сразу сделать вывод о возможности существования двух типов поверхностей разрыва.

В первом случае через поверхность разрыва нет потока вещества. Это значит, что Поскольку отличны от нуля, то это значит, что должно быть

Условия (84,2) и (84,4) в этом случае удовлетворяются автоматически, а условие (84,3) дает Таким образом, на поверхности разрыва в этом случае непрерывны нормальная компонента скорости и давление газа:

Тангенциальные же скорости и плотность (а также другие термодинамические величины, кроме давления) могут испытывать произвольный скачок. Такие разрывы будем называть тангенциальными.

Во втором случае поток вещества, а с ним и отличны от нуля. Тогда из (84,1) и (84,4) имеем:

т, е. тангенциальная скорость непрерывна на поверхности разрыва. Плотность же, давление (а потому и другие термодинамические величины) и нормальная скорость испытывают скачок, причем скачки этих величин связаны соотношениями (84,1-3). В условии (84,2) мы можем в силу (84,1) сократить а вместо можно в силу непрерывности v и писать v. Таким образом, на поверхности разрыва в рассматриваемом случае должны иметь место условия:

Разрывы этого типа называют ударными волнами.

Если теперь вернуться к неподвижной системе координат, то вместо надо везде писать разность между нормальной к поверхности разрыва компонентой скорости газа и скоростью и самой поверхности, направленной, по определению, по нормали к ней:

Скорости и и берутся относительно неподвижной системы отсчета. Скорость есть скорость движения газа относительно поверхности разрыва; иначе можно сказать, что есть скорость распространения самой поверхности разрыва относительно газа. Обращаем внимание на то, что эта скорость различна по отношению к газу с обеих сторон поверхности (если испытывает разрыв).

Тангенциальные разрывы, на которых испытывают скачок касательные компоненты скорости, рассматривались нами уже в § 29. Там было показано, что в несжимаемой жидкости такие разрывы неустойчивы и должны размываться в турбулентную область. Аналогичное исследование для сжимаемой жидкости показывает, что такая неустойчивость имеет место и в общем случае произвольных скоростей (см. задачу 1).

Частным случаем тангенциальных разрывов являются разрывы, в которых скорость непрерывна и испытывает скачок только плотность (а с ней и другие термодинамические величины за исключением давления); такие разрывы называют контактными. Сказанное выше о неустойчивости, к ним не относится.