ГЛАВА XII. ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА

§ 114. Потенциальное движение сжимаемого газа

Мы встретимся в дальнейшем с многочисленными важными случаями, когда движение сжимаемого газа можно рассматривать как потенциальное практически во всем пространстве. Здесь мы выведем общие уравнения потенциального течения и рассмотрим в общем виде вопрос об их применимости.

Потенциальность течения сжимаемого газа нарушается, вообще говоря, ударными волнами; после прохождения через ударную волну потенциальный поток становится в общем случае вихревым. Исключение представляют, однако, случаи, когда стационарный потенциальный поток проходит через ударную волну постоянной (вдоль всей ее поверхности) интенсивности; таковы например, случаи, когда однородный поток проходит волну, пересекающую все линии тока под одинаковым углом. В таких случаях течение остается потенциальным и позади ударной волны.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся уравнением Эйлера, написанным в виде

(ср. (2.10)), или

где учтено термодинамическое соотношение . Но в потенциальном потоке перед ударной волной , а на ударной волне эта величина непрерывна; поэтому она останется постоянной и во всем пространстве позади ударной волны, так что будем иметь:

Потенциальный поток перед ударной волной изэнтропичен. В общем случае произвольной ударной волны с переменным вдоль ее поверхности скачком энтропии в пространстве за волной градиент а вместе с ним будет отличен от нуля и

Однако если ударная волна обладает постоянной интенсивностью, то и скачок энтропии в ней постоянен, так что течение за ней тоже будет изэнтропическим, т. е. Отсюда следует, что либо либо векторы и v везде параллельны друг другу. Но последний случай невозможен: на самой ударной волне v во всяком случае имеет отличную от нуля нормальную компоненту, а нормальная компонента во всяком случае равна нулю (нормальная компонента определяется тангенциальными производными от тангенциальных компонент скорости, непрерывных на поверхности разрыва).

Другой важный случай, когда потенциальность течения можно считать не нарушающейся ударными волнами, — это случай волн малой интенсивности. Мы видели (§ 86), что в таких ударных волнах скачок энтропии есть величина третьего порядка по сравнению со скачком давления или скорости. Из соотношения (114,1) видно поэтому, что величиной третьего порядка будет и за разрывом. Это и дает возможность считать, с точностью до малых величин высших порядков, течение потенциальным и позади ударной волны.

Выведем общее уравнение для потенциала скорости при произвольном стационарном потенциальном течении сжимаемого газа. Для этого исключаем плотность из уравнения непрерывности с помощью уравнения Эйлера

и получаем:

Вводя сюда потенциал согласно и раскрывая векторные выражения, найдем искомое уравнение:

(нижние индексы обозначают здесь частные производные). В частности, для плоского движения

(114,3)

В этих уравнениях скорость звука сама должна быть выражена как функция скорости, что может быть, в принципе, сделано с помощью уравнения Бернулли w и уравнения изэнтропичности (для политропного газа зависимость с от и дается формулой (83,18)).

Уравнение (114,2) очень упрощается, если во всем пространстве скорость газа лишь незначительно отличается по величине и направлению от скорости натекающего из бесконечности по тока.

Тем самым подразумевается и что ударные волны (если они вообще есть) обладают слабой интенсивностью, а потому не нарушают потенциальности течения.

Выделим из v постоянную скорость натекающего потока написав , где v — малая величина. Вместо потенциала полной скорости, введем потенциал скорости . Уравнение для этого потенциала получится из (114,2) заменой выбираем в направлении вектора Рассматривая после этого как малую величину и опуская все члены выше первого порядка, получим следующее линейное уравнение:

где для скорости звука здесь подставлено, естественно, ее заданное значение на бесконечности.

Давление в любой точке потока определяется в этом же приближении через скорость по формуле, которую можно получить следующим образом. Рассматривая как функцию (при заданном s) и учитывая, что пишем:

Согласно же уравнению Бернулли имеем:

так что

(114,5)

В этом выражении надо, вообще говоря, сохранить член с квадратами поперечной скорости, так как в области вблизи оси (в частности, на самой поверхности обтекаемого газом тонкого тела) производные могут стать большими по сравнению с .

Уравнение (114,4), однако, неприменимо, если число очень близко к единице (околозвуковое движение), так что коэффициент в первом члене становится малым. Ясно, что в таком случае в уравнении должны быть сохранены также и члены более высокого порядка по производным потенциала по координате

Для вывода соответствующего уравнения снова вернемся к исходному уравнению (114,2), которое после пренебрежения заведомо малыми членами сводится к следующему:

(114,6)

В рассматриваемом случае скорость и скорость звука с близки к критической скорости с. Поэтому можно написать:

или

Воспользовавшись тем, что при согласно (83,4) имеем пишем (при ):

так что

(114,7)

Мы воспользовались здесь для производной выражением (99,9), а а обозначает значение величины а (102,2) при (для политропного газа а есть просто постоянная, так что ). С той же точностью это равенство можно переписать в виде

Это соотношение устанавливает в общем виде связь между числами М и околозвуковом случае.

С помощью этой формулы пишем:

Наконец, вводим новый потенциал, производя замену

так что теперь будет

(114,9)

Внося все это в (114,6), получим окончательно следующее уравнение для потенциала околозвукового течения (с направлением скорости, везде близким к оси х):

Свойства газа входят сюда толькб через постоянную а. Мы увидим в дальнейшем, что зависимость всех вообще свойств околозвукового течения от конкретного рода газа целиком определяется этой постоянной.

Линеаризованное уравнение (114,4) становится неприменимым и в другом предельном случае — очень больших значений , не говоря уже о том, что благодаря возникновению сильных ударных волн реальное течение при таких фактически вообще нельзя считать потенциальным (см. § 127).