Задачи

1. Определить распределение температуры вокруг сферической поверхности (радиуса R), температура которой есть заданная функция времени

Решение. Уравнение теплопроводности для центрально-симметрического распределения температуры в сферических координатах есть

Подстановкой оно приводится к уравнению

типа одномерного уравнения теплопроводности. Поэтому искомое решение можно написать прямо на основании (52,13) в виде

2. То же, если температура сферической поверхности есть Решение. Аналогично (52,15), получим:

3. Определить время выравнивания температуры для куба (с длиной ребра а), поверхность которого: а) поддерживается при заданной температура теплоизолирована.

Решение. В случае а) наименьшему значению соответствует следующее решение уравнения (52,16):

(начало координат — в одной из вершин куба), причем

В случае же б) имеем (или такая же функция от у или z), причем

4. То же для шара радиуса

Решение. Наименьшему значению X соответствует центрально-симметричное решение уравнения (52,16)

причем в случае так что

В случае же определяется как наименьший корень уравнения откуда так что .