§ 87. Направление изменения величин в ударной волне

Таким образом, в предположении положительности производной (86,2) для ударных волн слабой интенсивности можно весьма просто показать, что условие возрастания энтропии с необходимостью приводит также и к неравенствам

Из замечания, сделанного по поводу формулы (85,6) следует, что если то

а поскольку , то

Неравенства (87,1) и (87,3) означают, что при прохождении газа через ударную волну происходит его сжатие — его давление и плотность возрастают. Неравенство означает, что ударная волна движется относительно находящегося перед ней газа со сверхзвуковой скоростью; ясно поэтому, что в этот газ не могут проникнуть никакие исходящие от ударной волны возмущения. Другими словами, наличие ударной волны вовсе не сказывается на состоянии газа впереди нее.

Покажем теперь, что все неравенства (87,1-4) справедливы и для ударных волн произвольной интенсивности — при том же предположении о знаке производной

Величина определяет наклон хорды, проведенной из начальной точки ударной адиабаты 1 в произвольную точку есть тангенс угла наклона этой хорды к оси ). Покажем, прежде всего, что направление изменения этой величины при перемещении точки 2 вдоль адиабаты однозначно связано с направлением изменения энтропии при том же перемещении.

Продифференцируем соотношения (85,5) и (85,8) по величинам, относящимся к газу 2 при заданном состоянии газа 1. Это значит, что дифференцируются при заданных значениях Из (85,5) получаем:

а из (85,8):

или, раскрыв дифференциал :

Подставив сюда из (87,5), получим соотношение

Отсюда видно, что

т. е. меняются в одинаковом направлении.

Дальнейшие рассуждения имеют своей следующей целью показать, что на ударной адиабате не может быть точек, в которых бы она касалась проведенной из точки 1 прямой (как это имело бы место в точке О на рис. 56.

Рис. 56

В такой точке угол наклона хорды (проведенной из точки ) имеет минимум, а — соответственно максимум, и потому

Из соотношения (87,6) видно, что в таком случае будет и

Далее, вычислим производную в произвольной точке ударной адиабаты. Подставив в соотношение (87,5) дифференциал в виде

взяв для выражение (87,6) и разделив все равенство на получим

Отсюда видно, что обращение этой производной в нуль влечет за собой также и равенство

Обратно, из равенства следует, что производная последняя могла бы не обратиться в нуль, лишь если бы вместе с числителем в (87,8) обратился бы в нуль также и знаменатель; но выражения в числителе и знаменателе представляют собой две различные функции точки 2 на ударной адиабате, их одновременное обращение в нуль могло бы произойти лишь чисто случайно и потому невероятно.

Таким образом, все три равенства

являются следствиями друг друга и имели бы место одновременно в точке О на кривой рис. 56 (имея в виду последнее из этих равенств, будем условно называть такую точку звуковой). Наконец, для производной от в этой точке имеем

Ввиду предполагаемой везде положительности производной имеем, следовательно, в звуковой точке:

Теперь уже легко доказать невозможность существования звуковой точки на ударной адиабате. В точках, лежащих вблизи начальной точки 1 над ней, имеем (см. конец предыдущего параграфа). Поэтому равенство может быть достигнуто лишь при увеличении другими словами, в звуковой точке должно было бы быть между тем как согласно (87,10) мы имеем как раз обратное неравенство. Аналогичным образом можно убедиться в невозможности обращения в единицу и на нижней части ударной адиабаты, под точкой 1.

Имея в виду доказанную таким образом невозможность существования звуковых точек, можно заключить непосредственно из графика ударной адиабаты, что угол наклона хорды 12 уменьшается при передвижении точки 2 вверх по кривой, а соответственно монотонно возрастает; ввиду неравенства (87,7) отсюда следует, что монотонно возрастает и энтропия

Таким образом, при соблюдении необходимого условия будет и

Легко, далее, убедиться в том, что на верхней части ударной адиабаты справедливы также и неравенства Первое следует прямо из того, что оно справедливо вблизи точки а сделаться равным единице отношение нигде не может. Второе следует из того, что ввиду невозможности такого перегиба адиабаты, какой изображен на рис. 56, всякая хорда из точки 1 в находящуюся над ней точку 2 расположена более круто, чем касательная к ударной адиабате в точке

Таким образом, на верхней части ударной адиабаты выполняются условие и все три неравенства (87,1-2). Наоборот, на нижней части адиабаты все эти условия не выполняются. Следовательно, все эти условия оказываются эквивалентными друг другу и выполнение одного из них автоматически влечет за собой также и выполнение всех остальных.

Напомним лишний раз, что в изложенных рассуждениях все время предполагалось выполненным условие положительности производной Если эта производная могла бы менять знак, то из необходимого термодинамического неравенства уже нельзя было бы сделать никаких универсальных заключений о неравенствах для остальных величин.