Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625 626 627 628 629 630 631 632 633 634 635 636 637 638 639 640 641 642 643 644 645 646 647 648 649 650 651 652 653 654 655 656 657 658 659 660 661 662 663 664 665 666 667 668 669 670 671 672 673 674 675 676 677 678 679 680 681 682 683 684 685 686 687 688 689 690 691 692 693 694 695 696 697 698 699 700 701 702 703 704 705 706 707 708 709 710 711 712 713 714 715 716 717 718 719 720 721 722 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 11. Сила сопротивления при потенциальном обтеканииРассмотрим задачу о потенциальном обтекании несжимаемой идеальной жидкостью какого-либо твердого тела. Такая задача, конечно, полностью эквивалентна задаче об определении течения жидкости при движении через нее того же тела. Для получения второго случая из первого достаточно перейти к системе координат, в, которой жидкость на бесконечности покоится. Мы будем говорить ниже именно о движении твердого тела через жидкость. Определим характер распределения скоростей в жидкости на больших расстояниях от движущегося тела. Потенциальное движение несжимаемой жидкости определяется уравнением Лапласа Все эти решения (и их линейные комбинации) обращаются на бесконечности в нуль. Поэтому общий вид искомого решения уравнения Лапласа на больших расстояниях от тела есть
где а, А не зависят от координат; опущенные члены содержат производные высших порядков от
Вычислим соответствующий поток жидкости через какую-нибудь замкнутую поверхность, скажем, сферу с радиусом R. На этой поверхности скорость постоянна и равна Таким образом,
а для скорости
( Входящий в (11,2) вектор А связан определенным образом с полным импульсом и с полной энергией жидкости, обтекающей движущееся в ней тело. Полная кинетическая энергия жидкости (внутренняя энергия несжимаемой жидкости постоянна) есть
где интегрирование производится по всему пространству вне тела. Выделим из пространства часть V, ограниченную сферой большого радиуса R, с центром в начале координат и будем интегрировать сначала только по объему V, имея в виду стремить затем R к бесконечности. Имеем тождественно
где и — скорость тела. Поскольку и есть не зависящая от координат величина, то первый интеграл равен просто
Второй интеграл преобразуем в интеграл по поверхности S сферы и поверхности
На поверхности тела нормальные компоненты v и и равны друг другу в силу граничных условий; поскольку вектор
Наконец, произведя интегрирование и умножив на
Как уже указывалось, точное вычисление вектора А требует полного решения уравнения Из этой линейности следует, что А должно быть линейной же функцией от компонент вектора и. Определяемая же формулой (11,3) энергия Е является, следовательно, квадратичной функцией компонент вектора и и потому может быть представлена в виде
где Зная энергию Е, можно получить выражение для полного импульса Р жидкости. Для этого замечаем, что бесконечно малые изменения Е и Р связаны друг с другом соотношением
Наконец, сравнение формул (11,3-5) показывает, что Р выражается через А следующим образом:
Следует обратить внимание на то, что полный импульс жидкости оказывается вполне определенной конечной величиной. Передаваемый в единицу времени от тела к жидкости импульс есть
Параллельная скорости тела составляющая F называется силой сопротивления, а перпендикулярная составляющая — подъемной силой. Если бы было возможно потенциальное обтекание равномерно движущегося в идеальной жидкости тела, то было бы Р = const (так как u = const) и F = 0. Другими словами, отсутствовала бы как сила сопротивления, так и подъемная сила, т. е. действующие на поверхность тела со стороны жидкости силы давления взаимно компенсируются (так называемый парадокс Даламбера). Происхождение этого «парадокса» в особенности очевидно для силы сопротивления. Действительно, наличие этой силы при равномерном движении тела означало бы, что для поддержания движения какой-либо внешний источник должен непрерывно производить работу, которая либо диссипируется в жидкости, либо преобразуется в ее кинетическую энергию, приводя к постоянно уходящему на бесконечность потоку энергии в движущейся жидкости. Но никакой диссипации энергии в идеальной жидкости, по определению, нет, а скорость приводимой телом в движение жидкости настолько быстро убывает с увеличением расстояния от тела, что никакого потока энергии на бесконечности тоже нет. Следует, однако, подчеркнуть, что все эти соображения относятся лишь к движению тела в неограниченной жидкости. Если же, например, жидкость имеет свободную поверхность, то равномерно движущееся параллельно этой поверхности тело будет испытывать силу сопротивления. Появление этой силы (называемой волновым сопротивлением) связано с возникновением на свободной поверхности жидкости системы распространяющихся по ней волн, непрерывно уносящих энергию на бесконечность. Пусть некоторое тело совершает под влиянием действующей на него внешней силы f колебательное движение. При соблюдении рассмотренных в предыдущем параграфе условий окружающая тело жидкость совершает потенциальное движение, и для вывода уравнений движения тела можно воспользоваться полученными выше соотношениями. Сила f должна быть равна производной по времени от полного импульса системы, равного сумме импульса
С помощью (11,5) получаем отсюда:
что можно написать также и в виде
Это и есть уравнение движения тела, погруженного в идеальную жидкость. Рассмотрим теперь в некотором смысле обратный вопрос. Пусть сама жидкость производит под влиянием каких-либо внешних (по отношению к телу) причин колебательное движение. Под влиянием этого движения погруженное в жидкость тело тоже начинает двигаться Будем предполагать, что скорость движения жидкости мало меняется на расстояниях порядка величины линейных размеров тела. Пусть v есть скорость жидкости в месте нахождения тела, которую она имела бы, если бы тела вообще не было; другими словами, v есть скорость основного движения жидкости. По сделанному предположению v можно считать постоянной вдоль всего объема, занимаемого телом. Посредством и по-прежнему обозначаем скорость тела. Силу, действующую на тело и приводящую его в движение, можно определить из следующих соображений. Если бы тело полностью увлекалось жидкостью (т. е. было бы
Эту силу надо приравнять производной по времени от импульса тела. Таким образом, приходим к следующему уравнению движения:
Интегрируя с обеих сторон по времени, получаем отсюда:
Постоянную интегрирования полагаем равной нулю, поскольку скорость и тела, приводимого жидкостью в движение, должна обратиться в нуль вместе со скоростью жидкости v. Полученное соотношение определяет скорость тела по скорости жидкости. Если плотность тела равна плотности жидкости
|
1 |
Оглавление
|