§ 11. Сила сопротивления при потенциальном обтекании

Рассмотрим задачу о потенциальном обтекании несжимаемой идеальной жидкостью какого-либо твердого тела. Такая задача, конечно, полностью эквивалентна задаче об определении течения жидкости при движении через нее того же тела. Для получения второго случая из первого достаточно перейти к системе координат, в, которой жидкость на бесконечности покоится. Мы будем говорить ниже именно о движении твердого тела через жидкость.

Определим характер распределения скоростей в жидкости на больших расстояниях от движущегося тела. Потенциальное движение несжимаемой жидкости определяется уравнением Лапласа . Мы должны рассмотреть такие решения этого уравнения, которые обращаются на бесконечности в нуль, поскольку жидкость на бесконечности неподвижна. Выберем начало координат где-нибудь внутри движущегося тела (эта система координат движется вместе с телом; мы, однако, рассматриваем распределение скоростей в жидкости в некоторый заданный момент времени). Как известно, уравнение Лапласа имеет решением , где — расстояние от начала координат. Решением являются также градиент и следующие производные от по координатам.

Все эти решения (и их линейные комбинации) обращаются на бесконечности в нуль. Поэтому общий вид искомого решения уравнения Лапласа на больших расстояниях от тела есть

где а, А не зависят от координат; опущенные члены содержат производные высших порядков от Легко видеть, что постоянная а должна быть равной нулю. Действительно, потенциал дает скорость

Вычислим соответствующий поток жидкости через какую-нибудь замкнутую поверхность, скажем, сферу с радиусом R. На этой поверхности скорость постоянна и равна поэтому полный поток жидкости через нее равен Между тем, поток несжимаемой жидкости через всякую замкнутую поверхность должен, очевидно, обращаться в нуль. Поэтому заключаем, что должно быть

Таким образом, содержит члены, начиная с членов порядка Поскольку мы ищем скорость на больших расстояниях, то члены более высоких порядков можно опустить, и мы получаем:

а для скорости

( — единичный вектор в направлении ). Мы видим, что на больших расстояниях скорость падает, как Вектор А зависит от конкретной формы и скорости движения тела и может быть определен только путем полного решения уравнения на всех расстояниях, с учетом соответствующих граничных условий на поверхности движущегося тела.

Входящий в (11,2) вектор А связан определенным образом с полным импульсом и с полной энергией жидкости, обтекающей движущееся в ней тело. Полная кинетическая энергия жидкости (внутренняя энергия несжимаемой жидкости постоянна) есть

где интегрирование производится по всему пространству вне тела. Выделим из пространства часть V, ограниченную сферой большого радиуса R, с центром в начале координат и будем интегрировать сначала только по объему V, имея в виду стремить затем R к бесконечности.

Имеем тождественно

где и — скорость тела. Поскольку и есть не зависящая от координат величина, то первый интеграл равен просто где — объем тела. Во втором же интеграле пишем сумму в виде и, воспользовавшись также тем, что в силу уравнения непрерывности, имеем:

Второй интеграл преобразуем в интеграл по поверхности S сферы и поверхности тела:

На поверхности тела нормальные компоненты v и и равны друг другу в силу граничных условий; поскольку вектор направлен как раз по нормали к поверхности, то ясно, что интеграл по тождественно обращается в нуль. На удаленной же поверхности S подставляем для и v выражения (11,1-2) и опускаем члены, обращающиеся в нуль при переходе к пределу по Написав элемент поверхности сферы 5 в виде где — элемент телесного угла, получим:

Наконец, произведя интегрирование и умножив на получаем окончательно следующее выражение для полной энергии жидкости:

Как уже указывалось, точное вычисление вектора А требует полного решения уравнения с учетом конкретных граничных условий на поверхности тела. Общий характер зависимости А от скорости и тела можно, однако, установить уже непосредственно из факта линейности уравнения для и линейности (как по так и по и) граничных условий к этому уравнению.

Из этой линейности следует, что А должно быть линейной же функцией от компонент вектора и. Определяемая же формулой (11,3) энергия Е является, следовательно, квадратичной функцией компонент вектора и и потому может быть представлена в виде

где — некоторый постоянный симметрический тензор, компоненты которого могут быть вычислены с помощью компонент вектора А; его называют тензором присоединенных масс.

Зная энергию Е, можно получить выражение для полного импульса Р жидкости. Для этого замечаем, что бесконечно малые изменения Е и Р связаны друг с другом соотношением отсюда следует, что если Е выражено в виде (11,4), то компоненты Р должны иметь вид

Наконец, сравнение формул (11,3-5) показывает, что Р выражается через А следующим образом:

Следует обратить внимание на то, что полный импульс жидкости оказывается вполне определенной конечной величиной.

Передаваемый в единицу времени от тела к жидкости импульс есть . Взятый с обратным знаком, он определяет, очевидно, реакцию F жидкости, т. е. действующую на тело силу:

Параллельная скорости тела составляющая F называется силой сопротивления, а перпендикулярная составляющая — подъемной силой.

Если бы было возможно потенциальное обтекание равномерно движущегося в идеальной жидкости тела, то было бы Р = const (так как u = const) и F = 0. Другими словами, отсутствовала бы как сила сопротивления, так и подъемная сила, т. е. действующие на поверхность тела со стороны жидкости силы давления взаимно компенсируются (так называемый парадокс Даламбера). Происхождение этого «парадокса» в особенности очевидно для силы сопротивления. Действительно, наличие этой силы при равномерном движении тела означало бы, что для поддержания движения какой-либо внешний источник должен непрерывно производить работу, которая либо диссипируется в жидкости, либо преобразуется в ее кинетическую энергию, приводя к постоянно уходящему на бесконечность потоку энергии в движущейся жидкости. Но никакой диссипации энергии в идеальной жидкости, по определению, нет, а скорость приводимой телом в движение жидкости настолько быстро убывает с увеличением расстояния от тела, что никакого потока энергии на бесконечности тоже нет.

Следует, однако, подчеркнуть, что все эти соображения относятся лишь к движению тела в неограниченной жидкости. Если же, например, жидкость имеет свободную поверхность, то равномерно движущееся параллельно этой поверхности тело будет испытывать силу сопротивления. Появление этой силы (называемой волновым сопротивлением) связано с возникновением на свободной поверхности жидкости системы распространяющихся по ней волн, непрерывно уносящих энергию на бесконечность.

Пусть некоторое тело совершает под влиянием действующей на него внешней силы f колебательное движение. При соблюдении рассмотренных в предыдущем параграфе условий окружающая тело жидкость совершает потенциальное движение, и для вывода уравнений движения тела можно воспользоваться полученными выше соотношениями. Сила f должна быть равна производной по времени от полного импульса системы, равного сумме импульса тела (М — масса тела) и импульса Р жидкости:

С помощью (11,5) получаем отсюда:

что можно написать также и в виде

Это и есть уравнение движения тела, погруженного в идеальную жидкость.

Рассмотрим теперь в некотором смысле обратный вопрос. Пусть сама жидкость производит под влиянием каких-либо внешних (по отношению к телу) причин колебательное движение. Под влиянием этого движения погруженное в жидкость тело тоже начинает двигаться . Выведем уравнение этого движения.

Будем предполагать, что скорость движения жидкости мало меняется на расстояниях порядка величины линейных размеров тела. Пусть v есть скорость жидкости в месте нахождения тела, которую она имела бы, если бы тела вообще не было; другими словами, v есть скорость основного движения жидкости. По сделанному предположению v можно считать постоянной вдоль всего объема, занимаемого телом. Посредством и по-прежнему обозначаем скорость тела.

Силу, действующую на тело и приводящую его в движение, можно определить из следующих соображений. Если бы тело полностью увлекалось жидкостью (т. е. было бы то на него действовала бы такая же сила, которая бы действовала на жидкость в объеме тела, если бы тела вовсе не было. Импульс этого объема жидкости есть и потому действующая на него сила равна . Но в действительности тело не увлекается полностью жидкостью; возникает движение тела относительно жидкости, в результате чего сама жидкость приобретает некоторое дополнительное движение. Связанный с этим дополнительным движением импульс жидкости равен (в выражении (11,5) надо теперь писать вместо и скорость движения тела относительно жидкости). Изменение этого импульса со временем приводит к появлению дополнительной силы реакции, действующей на тело и равной Таким образом, полная сила, действующая на тело, равна

Эту силу надо приравнять производной по времени от импульса тела. Таким образом, приходим к следующему уравнению движения:

Интегрируя с обеих сторон по времени, получаем отсюда:

Постоянную интегрирования полагаем равной нулю, поскольку скорость и тела, приводимого жидкостью в движение, должна обратиться в нуль вместе со скоростью жидкости v.

Полученное соотношение определяет скорость тела по скорости жидкости. Если плотность тела равна плотности жидкости то, как и следовало ожидать, .