§ 21. Ламинарный след

При стационарном обтекании твердого тела вязкой жидкостью движение жидкости на больших расстояниях позади тела обладает своеобразным характером, который может быть исследован в общем виде вне зависимости от формы тела.

Обозначим через U постоянную скорость натекающего на тело потока жидкости (направление U выберем в качестве оси с началом где-либо внутри обтекаемого тела). Истинную же скорость жидкости в каждой точке будем писать в виде на бесконечности v обращается в нуль.

Оказывается, что на больших расстояниях позади тела скорость v заметно отлична от нуля лишь в сравнительно узкой области вокруг оси х. В эту область, называемую ламинарным следом, попадают частицы жидкости, движущиеся вдоль линий тока, проходящих мимо обтекаемого тела на сравнительно небольших расстояниях от него. Поэтому движение жидкости в следе существенно завихрено. Дело в том, что источником завихренности при обтекании твердого тела вязкой жидкостью является именно его поверхность. Это легко понять, вспомнив, что в картине потенциального обтекания, отвечающей идеальной жидкости, на поверхности тела обращается в нуль только нормальная, но не тангенциальная скорость жидкости v.

Между тем граничное условие прилипания для реальной жидкости требует обращения в нуль также и При сохранении картины потенциального обтекания это привело бы к конечному скачку — возникновению поверхностного ротора скорости. Под влиянием вязкости скачек размывается и завихренность проникает в глубь жидкости, откуда и переносится конвективным образом в область следа.

На линиях же тока, проходящих достаточно далеко от тела, влияние вязкости незначительно на всем их протяжении, и потому ротор скорости на них (равный нулю в натекающем из бесконечности потоке) остается практически равным нулю, как это было бы в идеальной жидкости. Таким образом, на больших расстояниях от тела движение жидкости можно считать потенциальным везде, за исключением лишь области следа.

Выведем формулы, связывающие свойства движения жидкости в следе с действующими на обтекаемое тело силами.

Полный поток импульса, переносимого жидкостью через какую-нибудь замкнутую поверхность, охватывающую собой обтекаемое тело, равен взятому по этой поверхности интегралу от тензора потока импульса:

Компоненты тензора равны:

Напишем давление в виде , где — давление на бесконечности. Интегрирование постоянного члена даст в результате нуль, поскольку для замкнутой поверхности векторный интеграл Обращается в нуль также и интеграл поскольку полное количество жидкости в рассматриваемом объеме остается неизменным, полный поток жидкости через охватывающую его поверхность должен исчезать. Наконец, вдали от тела скорость v мала по сравнению с U. Поэтому если рассматриваемая поверхность расположена достаточно далеко от тела, то на ней можно пренебречь в , членом по сравнению с Таким образом, полный поток импульса будет равен интегралу

Выберем теперь в качестве рассматриваемого объема жидкости объем между двумя бесконечными плоскостями , из которых одна взята достаточно далеко впереди, а другая — позади тела.

При определении полного потока импульса интеграл по бесконечно удаленной «боковой» поверхности исчезает (так как на бесконечности и поэтому достаточно интегрировать только по обеим поперечным плоскостям. Получающийся таким образом поток импульса представляет собой, очевидно, разность между полным потоком импульса, втекающим через переднее, и потоком, вытекающим через заднее сечение. Но эта разность является в то же время количеством импульса, передаваемым в единицу времени от жидкости к телу, т. е. силой F, действующей на обтекаемое тело.

Таким образом, компоненты силы F равны разностям

где интегрирование производится по бесконечным плоскостям (значительно позади) и (значительно впереди тела). Рассмотрим сначала первую из этих величин.

Вне следа движение потенциально, и потому справедливо уравнение Бернулли

или, пренебрегая членом по сравнению с

Мы видим, что в этом приближении подынтегральное выражение в обращается в нуль во всей области вне следа. Другими словами, интеграл по плоскости (проходящей впереди тела и не пересекающей след вовсе) исчезает полностью, в интеграле по задней плоскости надо интегрировать лишь по площади сечения следа. Но внутри следа изменение Давления — порядка величины т. е. мало по сравнению Таким образом, приходим к окончательному результату, что сила сопротивления, действующая на тело в направлении обтекания, равна

где интегрирование производится по площади поперечного сечения следа вдали от тела. Скорость в следе, разумеется, отридательна — жидкость движется здесь медленнее, чем она двигалась бы при отсутствии тела. Обратим внимание на то, что стоящий (21,1) интеграл определяет «дефицит» расхода жидкости через сечение следа по сравнению с расходом при отсутствии тела.

Рассмотрим теперь силу (с компонентами ), стремящуюся сдвинуть тело в поперечном направлении. Эта сила называется подъемной. Вне следа, где движение потенциально, можно написать интеграл по проходящей везде вне следа плоскости обращается в нуль:

поскольку на бесконечности Таким образом, для подъемной силы получаем выражение

(21,2)

Интегрирование в этих формулах фактически тоже производится лишь по площади сечения следа. Если обтекаемое тело обладает осью симметрии (не обязательно полной аксиальной симметрии) и обтекание происходит вдоль направления этой оси, то осью симметрии обладает и движение жидкости вокруг тела. В этом случае подъемная сила, очевидно, отсутствует.

Вернемся снова к движению жидкости в следе. Оценка различных членов в уравнении Навье — Стокса показывает, что членом можно, вообще говоря, пренебречь на расстояниях от тела, удовлетворяющих условию (ср. вывод обратного условия (20,16)); это и есть те расстояния, на которых движение жидкости (вне следа) можно считать потенциальным. Однако такое пренебрежение недопустимо даже на этих расстояниях в области внутри следа, поскольку здесь поперечные производные велики по сравнению с продольной производной

Пусть У — порядок величины ширины следа, т. е. тех расстояний от оси на которых скорость v заметно падает. Тогда порядки величины членов в уравнении Навье — Стокса:

Сравнив эти величины, найдем:

Эта величина действительно мала по сравнению с ввиду предположенного условия Таким образом, ширина ламинарного следа растет пропорционально корню из расстояния до тела.

Чтобы определить закон убывания скорости в следе, обратимся к формуле (21,1). Область интегрирования в ней

Поэтому оценка интеграла дает и, использовав соотношение (21,3), получим искомый закон:

Выяснив качественные особенности ламинарного движения вдали от обтекаемого тела, обратимся к выводу количественных формул, описывающих картину движения в следе и вне его.

Движение внутри следа

В уравнении Навье — Стокса стационарного движения

вдали от тела используем приближение Осеена — заменяем член на (ср. (20,17)). Кроме того, в области внутри следа можно пренебречь в производной по продольной координате к по сравнению с поперечными производными. Таким образом, исходим из уравнения

Ищем его решение в виде где — решение уравнения

Величину же связанную с членом в исходном уравнении (21,6), можно искать в виде градиента от некоторого скаляра. Поскольку вдали от тела производные по малы по сравнению с производными по , в рассматриваемом приближении надо пренебречь членом т. е. считать Таким образом, для имеем уравнение

Это уравнение формально совпадает с двухмерным уравнением теплопроводности, причем роль времени играет а роль коэффициента температуропроводности — вязкость v. Решение, убывающее с возрастанием у и z (при заданном ), а в пределе при приводящее к бесконечно малой ширине следа (в рассматриваемом приближении расстояния порядка размеров тела считаются малыми), есть

(ср. § 51).

Коэффициент в этой формуле выражен через силу сопротивления с помощью формулы (21,1), в которой, ввиду быстрой сходимости интеграла, можно распространить его по всей плоскости Если ввести вместо декартовых координат сферические с полярной осью по оси то области следа будут соответствовать значения полярного . Формула (21,9) в этих координатах примет вид

Опущенный нами член с (с Ф из получаемой ниже формулы (21,12)) дал бы в член, содержащий дополнительную малость

Такой же вид, как (21,9) (но с другими коэффициентами), должны иметь и Выберем направление подъемной силы в качестве оси у (так что Согласно (21,2), и замечая что на бесконечности имеем

Ясно поэтому, что отличается от (21,9) заменой на Таким образом, находим:

Для определения функции Ф поступаем следующим образом.. Пишем уравнение непрерывности, пренебрегая в нем продольной, производной

Продифференцировав это равенство по и воспользовавшись, уравнением (21,7) для получаем:

Отсюда

Наконец, подставив выражение для (первый член в (21,11)) и проинтегрировав по находим окончательно:

(постоянная интегрирования выбрана так, чтобы Ф оставалось конечным при ).

В сферических координатах (с азимутом отсчитываемым от плоскости ):

Из (21,11-13) видно, что содержат в отличие от и наряду с членами, экспоненциально убывающими с увеличением (при заданном ), также и члены, значительно менее быстро убывающие при удалении от оси следа (как ).

Если подъемная сила отсутствует, то движение в следе осесимметрично и

Движение вне следа

Вне следа течение жидкости можно считать потенциальным. Интересуясь лишь наименее быстро убывающими на больших расстояниях членами в потенциале Ф, ищем решение уравнения Лапласа

в виде суммы двух членов:

(21,14)

Первый член здесь сферически симметричен и связан с силой а второй — симметричен относительно плоскости и связан силой

Для функции получаем уравнение

Решение этого уравнения, конечное при есть

(21,15)

Коэффициент b можно определить из условия сшивки с решением внутри следа. Дело в том, что формула (21,13) относится к области углов а решение области Эти области перекрываются при , причем (21,13) сводится здесь к

а второй член в (21,14) — к

Сравнив оба выражения, найдем, что надо положить

Для определения коэффициента а в (21,14) замечаем, что полный поток жидкости через сферу S большого радиуса (как и через всякую замкнутую поверхность) должен быть равен нулю. Но через часть этой сферы, являющуюся площадью сечения следа, втекает количество жидкости

Поэтому через всю остальную площадь сферы должно вытекать, столько же жидкости, т. е. должно быть

В силу малости по сравнению со всей площадью S, можно-, заменить это условие требованием

откуда

Таким образом, собирая все полученные выражения, находим следующую формулу для потенциала скорости:

Этим и определяется движение во всей области вне следа вдали от тела. Потенциал убывает с расстоянием как Соответственно скорость убывает как Если подъемная сила отсутствует, то движение вне следа осесимметрично.