§ 9. Потенциальное движение

Из закона сохранения циркуляции скорости можно вывести важное следствие. Будем считать сначала, что движение жидкости стационарно и рассмотрим линию тока, о которой известно, что в некоторой ее точке Проведем бесконечно малый контур, охватывающий линию тока вокруг этой точки; с течением времени он будет передвигаться вместе с жидкостью, все время охватывая собой ту же самую линию тока. Из постоянства произведения (8,2) следует поэтому, что будет равен нулю вдоль всей линии тока.

Таким образом, если в какой-либо точке линии тока завихренность отсутствует, то она отсутствует и вдоль всей этой линии. Если движение жидкости не стационарно, то этот результат остается в силе, с той разчицей, что надо говорить не о линии тока, а о траектории, описываемой с течением времени некоторой определенной жидкой частицей (напоминаем, что при нестационарном движении эти траектории не совпадают, вообще говоря, с линиями тока).

На первый взгляд отсюда можно было бы сделать следующий вывод. Рассмотрим стационарное обтекание какого-либо тела потоком жидкости. На бесконечности натекающий поток однороден; его скорость , так что на всех линиях тока. Отсюда можно было бы заключить, что будет равен нулю и вдоль всей длины всех линий тока, т. е. во всем пространстве.

Движение жидкости, при котором во всем пространстве называется потенциальным (или безвихревым) в противоположность вихревому движению, при котором ротор скорости отличен от нуля. Таким образом, мы пришли бы к результату, что стационарное обтекание всякого тела натекающим из бесконечности однородным потоком должно быть потенциальным.

Аналогичным образом из закона сохранения циркуляции скорости можно было бы сделать еще и следующий вывод. Предположим, что в некоторый момент времени движение жидкости (во всем ее объеме) потенциально.

Тогда циркуляция скорости по любому замкнутому контуру в ней равна нулю. В силу теоремы Томсона можно было бы заключить, что это будет иметь место и в течение всего дальнейшего времени, т. е. мы получили бы результат, что если движение жидкости потенциально в некоторый момент времени, то оно будет потенциальным и в дальнейшем (в частности, должно было бы быть потенциальным всякое движение, при котором в начальный момент времени жидкость вообще покоилась). Этому соответствует и тот факт, что уравнение (2,11) удовлетворяется при тождественно.

Рис. 1

В действительности, однако, все эти заключения имеют лишь весьма ограниченную применимость. Дело в том, что приведенное выше доказательство сохранения равенства вдоль линии тока, строго говоря, неприменимо для линии, проходящей вдоль поверхности обтекаемого жидкостью твердого тела, уже просто потому, что ввиду наличия стенки нельзя провести в жидкости замкнутый контур, который охватывал бы собой такую линию тока. С этим обстоятельством связан тот факт, что уравнения движения идеальной жидкости допускают решения, в которых на поверхности обтекаемого жидкостью твердого тела происходит, как говорят, «отрыв струй»: линии тока, следовавшие вдоль поверхности, в некотором месте «отрываются» от нее, уходя в глубь жидкости. В результате возникает картина течения, характеризующаяся наличием отходящей от тела «поверхности тангенциального разрыва», на которой скорость жидкости (будучи направлена в каждой точке по касательной к поверхности) терпит разрыв непрерывности. Другими словами, вдоль этой поверхности один слой жидкости как бы скользит по другому (на рис. 1 изображено обтекание с поверхностью разрыва, отделяющей движущуюся жидкость от образующейся позади тела «застойной» области неподвижной жидкости). С математической точки зрения скачок тангенциальной составляющей скорости представляет собой, как известно, поверхностный ротор скорости.

При учете таких разрывных течений решение уравнений идеальной жидкости не однозначно: наряду с непрерывным решением они допускают также и бесчисленное множество решений с поверхностями тангенциальных разрывов, отходящими от любой наперед заданной линии на поверхности обтекаемого тела.

Подчеркнем, однако, что все эти разрывные решения не имеют, физического смысла, так как тангенциальные разрывы абсолютно неустойчивы, в результате чего движение жидкости становится в действительности турбулентным (см. об этом в гл. III).

Реальная физическая задача об обтекании заданного тела, разумеется, однозначна. Дело в том, что в действительности не существует строго идеальных жидкостей; всякая реальная жидкость обладает какой-то, хотя бы и малой, вязкостью. Эта вязкость может практически совсем не проявляться при движении жидкости почти во всем пространстве, но сколь бы она ни была мала, она будет играть существенную роль в тонком пристеночном слое жидкости. Именно свойства движения в этом (так называемом пограничном) слое и определят в действительности выбор одного из бесчисленного множества решений уравнений движения идеальной жидкости. При этом оказывается, что в общем случае обтекания тел произвольной формы отбираются именно решения с отрывом струй (что фактически приводит к возникновению турбулентности).

Несмотря на все изложенное, изучение решений уравнений движения, соответствующих непрерывному стационарному потенциальному обтеканию тел, имеет в некоторых случаях смысл. Между тем как в общем случае обтекания тел произвольной формы истинная картина течения практически ничего общего с. картиной потенциального обтекания не имеет, в случае тел, имеющих некоторую особую («хорошо обтекаемую», см. § 46). форму, движение жидкости может очень мало отличаться от потенциального (точнее, оно будет не потенциальным лишь в тонком слое жидкости вблизи поверхности тела и в сравнительно узкой области «следа» позади тела).

Другим важным случаем, когда осуществляется потенциальное обтекание, являются малые колебания погруженного в жидкость тела. Легко показать, что если амплитуда а колебаний мала по сравнению с линейными размерами I тела (), то движение жидкости вокруг тела будет всегда потенциальным. Для этого оценим порядок величины различных членов в уравнении Эйлера

Скорость v испытывает заметное изменение (порядка скорости и колеблющегося тела) на протяжении расстояний порядка размеров тела Поэтому производные от v по координатам — порядка величины Порядок же величины самой скорости v определяется (на не слишком больших расстояниях от тела) скоростью . Таким образом, имеем

Производная же — порядка величины где — частота колебаний. Поскольку то имеем Из следует теперь, что член мал по сравнению с и может быть опущен, так что уравнение движения жидкости приобретает вид Применив к обеим сторонам этого уравнения операцию получаем:

откуда . Но при колебательном движении среднее (по времени) значение скорости равно нулю; поэтому из следует, что . Таким образом, движение жидкости, совершающей малые колебания, является (в первом приближении) потенциальным.

Выясним теперь некоторые общие свойства потенциального движения жидкости. Прежде всего напомним, что вывод закона сохранения циркуляции, а с ним и всех дальнейших следствий, был основан на предположении об изэнтропичности течения. Если же движение не изэнтропично, то этот закон не имеет места; поэтому, даже если в некоторый момент времени движение является потенциальным, то в дальнейшем, вообще говоря, завихренность все же появится. Таким образом, фактически потенциальным может быть лишь изэнтропическое движение.

При потенциальном движении жидкости циркуляция скорости по любому замкнутому контуру равна нулю:

(9,1)

Из этого обстоятельства следует, в частности, что при потенциальном течении не могут существовать замкнутые линии тока. Действительно, поскольку направление линии тока совпадает в каждой точке с направлением скорости, циркуляция скорости вдоль такой линии во всяком случае была бы отличной от нуля.

При вихревом же движении циркуляция скорости, вообще говоря, отлична от нуля. В этом случае могут существовать замкнутые линии тока; надо, впрочем, подчеркнуть, что наличие замкнутых линий тока отнюдь не является необходимым свойством вихревого движения.

Как и всякое векторное поле с равным нулю ротором, скорость потенциально движущейся жидкости может быть выражена в виде градиента от некоторого скаляра.

Этот скаляр называется потенциалом скорости; мы будем обозначать его посредством

(9,2)

Написав уравнение Эйлера в виде (2,10)

и подставив в него , получаем:

откуда находим следующее равенство:

где — произвольная функция времени. Это равенство пред ставляет собой первый интеграл уравнений потенциального движения. Функция в равенстве (9,3) может быть без ограничения общности положена равной нулю за счет неоднозначности в определении потенциала: поскольку скорость определяется производными от по координатам, можно прибавить к любую функцию времени.

При стационарном движении имеем (выбирая потенциал не зависящим от времени) , и (9,3) переходит в уравнение Бернулли

(9,4)

Необходимо подчеркнуть здесь следующее существенное отличие между уравнениями Бернулли в случае потенциального и непотенциального движений. В общем случае произвольного движения const в правой части этого уравнения есть величина, постоянная вдоль каждой данной линии тока, но, вообще говоря, различная для разных линий тока. При потенциальном же движении const в уравнении Бернулли есть величина, постоянная во всем объеме жидкости. Это обстоятельство в особенности повышает роль уравнения Бернулли при исследовании потенциального движения.