§ 86. Ударные волны слабой интенсивности

Рассмотрим ударную волну, в которой все величины испытывают лишь небольшой скачок; о таких разрывах мы будем говорить как об ударных волнах слабой интенсивности. Преобразуем соотношение (85,9), производя в нем разложение по степеням малых разностей Мы увидим, что при таком разложении в (85,9) сокращаются члены первого и второго порядков по поэтому необходимо производить разложение по до членов третьего порядка включительно. По разности же достаточно разложить до членов первого порядка. Имеем:

Но согласно термодинамическому соотношению имеем для производных:

Поэтому

Объем достаточно разложить только по поскольку во втором члене уравнения (85,9) уже имеется малая разность и разложение по дало бы член порядка не интересующий нас. Таким образом,

Подставляя эти разложения в (85,9), получим следующее соотношение:

Таким образом, скачок энтропии в ударной волне слабой интенсивности является малой величиной третьего порядка по сравнению со скачком давления.

Адиабатическая сжимаемость вещества — практически всегда падает с увеличением давления, т. е. вторая производная

Подчеркнем, однако, что это неравенство не является термодинамическим соотношением и, в принципе, возможны его нарушения. Как мы неоднократно увидим ниже, в газодинамике знак производной (86,2) весьма существен; в дальнейшем мы будем всегда считать его положительным.

Проведем через точку на . К диаграмме две кривые ударную адиабату и адиабату Пуассона. Уравнение адиабаты Пуассона есть Из сравнения этого уравнения с уравнением (86,1) ударной адиабаты вблизи точки 1 видно, что обе кривые касаются в этой точке, причем имеет место касание второго порядка — совпадают не только первые, но и вторые производные. Для того чтобы выяснить взаимное расположение обеих кривых вблизи точки 1, воспользуемся тем, что согласно (86,1) и (86,2) при на ударной адиабате должно быть между тем как на адиабате Пуассона остается . Поэтому абсцисса точки на ударной адиабате должна быть при той же ординате больше абсциссы точки на адиабате Пуассона. Это следует из того, что согласно известной термодинамической формуле

энтропия растет с увеличением объема при постоянном давлении для всех тел, которые расширяются при нагревании, т. е. у которых . Аналогично убеждаемся в том, что ниже точки 1 (т. е. при ) абсциссы точек адиабаты Пуассона должны быть больше абсцисс ударной адиабаты. Таким образом, вблизи точки своего касания обе кривые расположены указанным на рис. 55 образом (НН — ударная адиабата, а РР — адиабаты Пуассона), причем в силу (86,2) обе обращены вогнутостью вверх.

При малых формулу (85,6) можно написать в первом приближении в виде

(мы пишем здесь производную при постоянной энтропии, имея в виду, что касательные к адиабатам Пуассона и ударной в точке 1 совпадают). Далее, скорости в том же приближении одинаковы и равны

Рис. 56

Но это есть не что иное, как скорость звука с. Таким образом, скорость распространения ударных волн слабой интенсивности совпадает в первом приближении со скоростью звука:

Из полученных свойств ударной адиабаты в окрестности точки 1 можно вывести ряд существенных следствий. Поскольку в ударной волне должно выполняться условие то должно быть и

т. е. точки должны находиться выше точки 1. Далее, поскольку хорда 12 идет круче касательной к адиабате в точке 1 (рис. 53), а тангенс угла наклона этой касательной равен производной имеем:

Умножая это неравенство с обеих сторон на находим:

где — скорость звука, соответствующая точке 1. Таким образом,

Наконец, из того, что хорда расположена менее круто, чем касательная в точке 2, аналогичным образом следует, что

Упомянем еще, в заключение, что при из условия для ударных волн слабой интенсивности следовало бы а для скоростей — те же неравенства .