Задачи

1. Определить зависимость частоты от волнового вектора для капиллярно-гравитационных волн на поверхности жидкости, глубина которой равна

Решение. Подставляя в условие (62,1)

(см. задачу 1 § 12), получаем:

При мы возвращаемся к формуле (62,2), а для длинных волн имеем:

2. Определить коэффициент затухания капиллярных волн.

Решение. Подставляя (62,3) в (25,5), получим

3. Найти условие устойчивости тангенциального разрыва в поле тяжести с учетом поверхностного натяжения; жидкости по обе стороны поверхности разрыва предполагаются различными (Kelvin, 1871).

Решение. Пусть U — скорость верхнего слоя жидкости относительно нижнего. Накладываем на основное движение периодическое вдоль горизонтальной оси возмущение и ищем потенциал скорости в виде; в нижней жидкости

и в верхней

Для нижней жидкости имеем на поверхности разрыва

( — вертикальная координата поверхности раздела), а в верхней

Условие равенства давлений в обеих жидкостях на поверхности разрыва имеет вид

(при раскрытии выражения должны быть сохранены только члены первого порядка по А). Смещение ищем в виде . Подставляя в написанные три условия при получаем три уравнения, исключая из которых , находим:

Для того чтобы это выражение было вещественным при всех k, необходимо выполнение условия

В противном случае существуют комплексные с положительной мнимой частью и движение неустойчиво.